高中数学新课程创新教学设计案例篇等差数列的前n项和

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高中数学新课程创新教学设计案例篇等差数列的前n项和





46 等差数列的前



n 项和



教材剖析

等差数列的前ｎ 和是数列的重要内容， 和是 常碰到的一 ． 法．

也是数列研究的基本 ．在 生活中，等差数列的求

我 求等差数列的前ｎ 和供给了一种重要方

接着推行到一般状况，推 出等

等差数列的乞降公式，

教材第一通 详细的案例，研究 出等差数列前ｎ 和的求法， 差数列的前ｎ 和公式．

深入 公式的理解，通 详细例子的研究，弄清等差数列的前ｎ 和

并能 用公式解决一些 ，

点是前ｎ

与等差数列的 、 数、公差之 的关系，并能熟 地运用等差数列的前ｎ 和公式解决 ． 内容要点是研究掌握等差数列的前ｎ 和公式， 和公式推 思路的形成．

教课目的





1. 通 等差数列前ｎ 和公式的推 ， 学生体 数学公式 生、形成的 程，培育学生抽象归纳能力． 2. 理解和掌握等差数列的前ｎ 和公式，领会等差数列的前ｎ 和与二次函数之 的 系，并能用公式解决一些 ，培育学生 数学的理解能力和 推理能力．

3. 在研究公式的形成 程中，培育学生的研究能力、 新能力和科学的思 方法．

任务剖析

内容主要波及等差数列的前ｎ 公式及其 用．

公式的推 ， 便于学生理解，采纳从特别到一般的研究方法比 适合，

面引 学生 等差数列中随意的第ｋ 与倒数第ｋ 的和等于首 与末 的和 个 律， 求等差数列前ｎ 和的一般方法，

自然地 渡到一般等差数列的乞降 ．

如从 史上闻名的乞降

而

等差数列的求

例子 1＋ 2＋ 3＋⋯⋯＋ 100 的高斯算法出 ，一方面引 学生 等差数列乞降 的 趣，另一方



和公式，要引 学生 公式自己的 构特点，弄清前ｎ 和与等差数列的 、 数、公差之 的关系． 加深 公式的理解和运用，要 化 例的教课，并通 详细 例的剖析，引 学生学

会解决 的方法． 特 是 ， 要引 学生从 情境中 等差数列的模型，适合 公式． 于等差数列前ｎ 和公式和二次函数之 的 系，可引 学生拓展延长．

教课方案



一、 情形

1. 在 200 多年前，有个 10 的名叫高斯的孩子， 在老 提出 ： “1＋ 2＋ 3＋⋯＋ 100＝？” ， 很快地就算出了 果．他是怎么算出来的呢？他 于是 1＋ 2＋⋯＋ 100＝101×50＝ 5050．

2. 受高斯算法启 ，你可否求出1＋ 2＋ 3＋⋯＋ｎ的和．

3. 高斯的方法妙在哪里呢？ 种方法可否推行到求一般等差数列的前ｎ 和？

二、成立模型

1. 数列的前ｎ 和定 于数列｛ａ ｝，我 称ａ

1＋100＝ 2＋99＝ 3＋97＝⋯＝ 50＋ 51＝101，







＋ａ ＋⋯＋ａ 数列｛ａ ｝的前ｎ 和，用

1

2

n

n

S 表示，即

n

S ＝ａ ＋ａ





2

n n1

＋⋯＋ａ

n

．

2. 等差数列的乞降公式

（ 1）怎样用高斯算法来推 等差数列的前ｎ 和公式？


高中数学新课程创新教学设计案例篇等差数列的前n项和





于公差 ｄ的等差数列｛ａ Sn＝ａ 1＋（ａ 1＋ｄ）＋（ａ ①



1

n

｝：

＋ 2ｄ）＋⋯＋［ａ





1

＋（ｎ—

1）ｄ］，



依照高斯算法， 将 Sn 表示 Sn＝ａ n＋（ａ n—ｄ）＋（ａ n— 2ｄ）＋⋯＋［ａ n—（ｎ— 1）ｄ］． 由此获得等差数列的前ｎ 和公式

小 ： 种方法称 反序相加法，是数列乞降的一种常用方法． （ 2） 合通 公式ａ



n

②

＝ａ 1＋（ｎ— 1）ｄ，又能得怎 的公式？

和 数ｎ；不一样点是前者 要

末两 之和，

（３）两个公式有什么同样点和不一样点，各反应了等差数列的什么性 ？ 学生 后，教 ：同样点是利用两者乞降都 知道首 ａ

1



知道ａ n，后者 要知道ｄ．所以，在 用 要依照已知条件适合地 取公式．公式自己也反应





了等差数列的性 ： 前者反应了等差数列的随意的第ｋ 与倒数第ｋ 的和都等于首、 后者反应了等差数的前ｎ 和是对于ｎ的没有常数 的“二次函数”．

三、解 用



［例 ］

1. 依据以下各 中的条件，求相 的等差数列｛ａ n｝的前ｎ 和 Sn．（ 1）ａ 1＝ — 4，ａ 8





＝ — 18，ｎ＝ 8．

（ 2）ａ 1＝ 14． 5，ｄ＝，ａ n＝ 32． 注：适合 用公式 行 算．

2. 已知一个等差数列｛ａ n｝前 10 的和是 310，前 20 的和是 1220．由 些条件能确立 个等差数列的前ｎ 和的公式 ？



剖析：将已知条件代入等差数列前ｎ 和的公式后，可获得两个对于ａ 1 与ｄ的关系式，它 都是对于ａ 1 与ｄ的二元一次方程，由此能够求得ａ 1 与ｄ，进而获得所求前ｎ 和的公式．



，ａ 1，ｎ或许ａ 1，ｎ，1，ｄ，ｎ，ａ n及

n

解：由 意知

注：（ 1）教 引 学生 到等差数列前ｎ 和公式，就是一个对于ａ





ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ 和公式相 合，再 合通 公式， ａ Sn 五个量知其三即可求其二．

（ 2）本 的解法 有好多，教课 可鼓舞学生研究其余的解法．比如，

3. 2000 年 11 月 14 日教育手下 了《对于在中小学 施“校校通”工程的通知》．某市据此提出 了 施“校校通”工程的 目 ：

从 2001 年起用 10 年的 ， 在全市中小学建成不一样 准的校园

500 万元． 了保 工程的 利 施， 划

2001 年起的将来 10 年内， 市在“校校通”工

是求 数列

50 万元．所

1

网．据 算， 2001 年 市用于“校校通”工程的



每年投入的 金都比上一年增添



50 万元．那么从

程中的 投入是多少？ 教 引学生剖析： 的前 10 的和．

每年“校校通”工程的 数组成公差 ５０的等差数列．



解：依据 意， 从 2001～ 2010 年， 市每年投入“校校通”工程的 都比上一年增添 以，能够成立一个等差数列｛ａ

n

｝，表示从 2001 年起各年投入的 金，此中，ａ

7250 万元．



＝ 500，ｄ＝ 50．

那么，到 2010 年（ｎ＝ 10），投入的 金



答：从 2001 ～ 2010 年， 市在“校校通”工程中的 投入是



注：教 引 学生 范 用 的解 步 ． 4. 已知数列 ｛ａ n｝的前ｎ 和





Sn＝ｎ 2＋

ｎ，求 个数列的通 公式． 个数列是等差数列 ？



假如是，它的首 与公差分 是什么？ 解：依据


高中数学新课程创新教学设计案例篇等差数列的前n项和



由此可知，数列｛ａn｝是一个首 思虑：一般地，数列｛ａ 么？ ［ ］

ｋｍ／ｈ．假如 是

2. 已知数列｛ａ n｝的前ｎ 的和

n



n

，公差 2 的等差数列．

S ＝ Aｎ ＋Bｎ（ A≠０）， ｛ａ







2



｝前ｎ 和



n



｝是等差数列 ？ 什







1. 一名技 人 划用下边的 法 一种 ：从 速

30ｓ， 距离是多 ？

Sn ＝

ｎ 2＋



10ｋｍ／ｈ开始，每隔 2ｓ速度提升 20





ｎ＋ 4，求 个数列的通 公式．

3. 求会合 M＝｛ｍ｜ｍ＝ 2ｎ— 1，ｎ∈ N* ，且ｍ＜ 60｝的元素个数，并求 些元素的和．四、拓展延

长



1. 数列｛ａ n｝前ｎ 和



Sn



Sn＝ pn2＋ qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ 常数且ｐ≠０）， ｛ａ











n

｝成等差

数列的条件是什么？





2. 已知等差数列





5， 4

， 3 ，⋯的前ｎ 和



Sn，求使 Sn 最大的序号ｎ的 ．



剖析 1：等差数列的前ｎ 和公式能够写成

Sn＝

ｎ2＋ （ａ 1－

）ｎ，所以 Sn 能够当作函数ｙ







＝ x2＋（ａ 1－ ）ｘ（ｘ∈ N* ）．当ｘ＝ｎ 的函数 ．另一方面，简单知道是一条抛物 上的一些点．所以，我 能够利用二次函数来求ｎ的 ．











Sn 对于ｎ的 像



解：由 意知，等差数列 于是，当ｎ取与 剖析 2：因 公差ｄ＝



5， 4

， 3



，⋯的公差 －



，所以



最靠近的整数即

7 或 8 ， Sn 取最大 ．



－



＜０，所以此数列 减数列，假如知道从哪一 开始它后 的 全







的， 而它以前的 是正的或许是零， 中求出ｎ．

点 评

那么就知道前多少 的和最大了．



即便 而后从



篇案例从详细的 例出 ，引出等差数列的乞降 ， 能力．

在 上， 者注意激 学生的学

趣和研究欲念，通 等差数列乞降公式的研究 程，培育学生 察、研究、 律、解决 的 例 、 的安排， 篇案例注意由浅入深，完好，全面．拓展延长的 有新意，有深度，符 合学生的 律，有益于学生理解、掌握 内容． 就 体而言， 篇案例体 了新 程的基本理念，

外， 篇案例 于 承 教课 着重“双基”、关注学生的落 ， 展，有比 好的体 。

特别关注培育学生的数学思 能力和 新能力．

同 注意着眼于学生的全面



另

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