南京大学2021年《高等数学Ⅰ》期末考试试题及答案

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一、(共15分：其中第一小题10分，第二小题5分)

1

, x1x

1. 讨论函数f(x)1ex1的连续性，若存在间断点指出其类型.



x11, 2. 已知lim

x0

1f(x)sinx1

e

2x

1

3，求极限limf(x).

x0

二、（10分）设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx3，若f(x)与g(x)在x0时是等价无穷小，求a,b,k的值.

三、（共15分：其中第一小题5分，第二小题10分） 1. 计算

3

1(x1)

0

0

2

3

dx.

2. 求由方程y2edt0

t

2x

dyd2y

tdt0所确定的隐函数y对x的导数,2.

dxdx

2

四、（10分）设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)，使f()nf()0，其中n为正整数. 五、（共15分：其中第一小题7分，第二小题8分） 1. 计算不定积分

earctanx(1x)

3

22

dx.



2. 设(xa0cosxa0sinx)2dxmin(xacosxasinx)2dx，求a0.

aR

六、（10分）由原点引抛物线yx22x4的两条切线，设切点分别为A,B，求两切线OA,OB与此抛物线所围成的平面图形的面积. 七、（共15分：其中第一小题7分，第二小题8分）

11111

1. 判断级数un1的敛散性.

35555n1



2

4

6

2. 求曲线yf(x)

(x2x3)e

的所有渐近线方程. 2

(x1)arctanx

2

1x




八、（10分）将函数f(x)

x

展开成x的幂级数，并求其收敛域.

2xx2



参考答案

一、1. x0是f(x)的无穷间断点也是第二类间断点，x1是f(x)的跳跃间断点也是第一类间断点，其它点都是f(x)的连续点. 2. limf(x)12.

x0

二、lim

x0

xaln(1x)bxsinx

lim3x0kx

1

a

bsinxbxcosx1x1， 2

3kx

所以分子极限为0，故a1，从而



原式lim

x0

1

2bcosxbxsinx2

(1x)

1，

6kx

1

又分子极限为0，故b，从而

2

2

3bsinxbxcosx3

(1x)1

原式lim1，故k.

x06k3三、1.



3

1(x1)

2

0

2

3

dx3332.

2

2

y2

dy4xdy8xye, 2. 22ydxyedx

16x432x4y2ye

3

2y2

.

四、设辅助函数F(x)xnf(x). 五、1.



earctanx(1x)



2

3

2

dx

x121x2

earctanxC.

2. 因f(a)(xacosxasinx)2dx



23

2a24a， 3

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