数学归纳法经典例题及答案

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数学归纳法（2016.4.21）

一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：

（1）证明当n 取第一个值n0 （如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk(kN,kn0) 时结论正确，证明nk1时结论也正确． 综合（1）、（2），……

注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：

题型1.证明代数恒等式

例1．用数学归纳法证明：

1111n

2n12n12n1133557

证明：①n=1时，左边

1111，右边，左边=右边，等式成立． 133213

②假设n=k时，等式成立，即：

1111k．

2k12k12k1133557

当n=k+1时．

11111



2k12k12k12k3133557

k1

 2k12k12k3

2k1k1 2k23k1



2k12k32k12k3



k1k1



2k32k11

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n等式成立．




题型2.证明不等式

例2．证明不等式1

12



13



1n

2n (n∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立． ②假设n=k时，不等式成立，即1那么当n=k+1时，

12



13



1k

2k．

1

12



13



1k



1k1



2k

1k1



2kk11

k1

2k1k1





kk11

k1

2k1

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

1

12



131



1k



1k1

2k1，当代入归纳假设后，就是要证明：

2k

k1

2k1．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．



题型3.证明数列问题



例3 (x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．

(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．

(2)设bn＝

a2

－，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝2n3

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