因数和倍数概念总结

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第一章 因数 倍数 （重要内容提示）





什么是自然数？像0、1、2、3、4、5、6、。。。这样的数是自然数。 什么是整数？ 像-3、-2、-1、0、1、2、3、。。。这样的数是整数。

整数包括：正整数、0、负整数。正整数、0叫自然数，所以还可以说整数包括：自然数和负整数。 整数和自然数之间的关系：整数包括自然数，自然数是整数的一部分。 因数和倍数的研究范围是：非零自然数

因数和倍数的关系是：相互依存的关系，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不可以说谁是因数，谁是倍数。 找一个数的倍数的方法：找一个数的倍数，一般从这个数的1倍，2倍，3倍。。。依次来找。

找一个数的因数的方法：找一个数的因数要一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个数就是这个数的因数，如果两个因数相同只取一个。一般从1和它本身找起。

提示：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的最小倍数和它的最大因数相等，都是它本身。

什么叫除尽？ 一个数除以另一个不等于零的数，所得的商无余数。

什么叫整除？ 整数a除以整数b b≠0除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说，b能整除a。如果数a能被数b( b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

除尽和整除的关系：整除是除尽，除尽不一定是整除，所以，除尽包括整除。 2的倍数的特征： 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数的特征： 个位上是0或5的数是5的倍数。 2、5的倍数的特征：个位上是0的数是2、5的倍数。 3的倍数的特征： 各个数位上的数字相加之和是3的倍数。

2、3的倍数的特征： 个位上要是0、2、4、6、8的数； 各个数位上的数字相加之和是3的倍数。 3、5的倍数的特征： 个位上是0或5的数； 各个数位上的数字相加之和是3的倍数。 9的倍数的特征： 一个数各个数位上的数字相加之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

9的倍数和3的倍数的关系： 是9的倍数的一定是3的倍数，是3的倍数的不一定或可能是9的倍数。 6的倍数和2的倍数的关系： 是6的倍数的一定是2的倍数，是2的倍数的不一定是6的倍数。 6的倍数和3的倍数的关系： 是6的倍数的一定是3的倍数，是3的倍数的不一定是6的倍数。 什么叫偶数？ 是2的倍数的数叫偶数。 偶数的特点：个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。 什么叫奇数？ 不是2的倍数的数叫奇数。 奇数的特点：个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。

提示： 相邻两个自然数相差1，相邻两个奇数或偶数相差2。

如果3个相邻自然数中间一个是a，那么另外两个自然数是a＋1，a-1， 如果3个相邻奇数或偶数中间一个是a，那么另外两个奇数或偶数是a＋2，a-2，

什么叫质数？ 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数或素数。质数只有两个因数。 什么叫合数？ 一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。合数最少有3个因数。

提示： 1既不是质数也不是合数。 除2外，所有的质数都是奇数。 除2外，所有的偶数都是合数。

除2外，任何一个质数加上1所得的数一定是偶数。 合数中既有奇数又有偶数。

自然数根据是不是2的倍数分为： 奇数和偶数； 自然数根据因数的个数分为： 质数、合数、1、0 。

100以内的质数表： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 共25个。 1—20的质数有： 2 3 5 7 11 13 17 19共8个，

1—20的合数有： 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20共11个 1—20的奇数有： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 共10个。 1—20的偶数有： 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20共10个。 必须滚瓜烂熟的：

最小的自然数是0。 没有最小的整数， 也没有最大的整数。 最小的奇数是1， 最小的偶数是0，

最小的质数是2 ， 最小的合数是4， 质数的因数只有2个， 合数的因数最少有3个， 1既不是质数也不是合数。 在自然数中即是偶数又是质数的是2， 一个既是奇数又是合数的一位数是9， 在所有的质数中是偶数的只有2。 1—10中连续的质数有2和3，连续的合数有8 9 10；

1—10中既是质数又是偶数的有2， 既是质数又是奇数的有3 5 7 ，既是合数又是偶数的有 4 6 8 10既是奇数又是合数的有9。


什么叫公因数，什么叫最大公因数？

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 什么叫公倍数，什么叫最小公倍数？

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 什么叫互质数？

公因数只有1的两个数叫做互质数。互质的两个数不一定都是质数。相邻两个自然数是互质数，只有公因数1。 什么叫质因数？

把一个合数写成几个质数相乘的形式，其中每个质数是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 什么叫分解质因数？

把一个合数写成几个质因数相乘的形式叫做分解质因数。 通常情况下我们用短除法来把一个合数分解质因数， 怎样用短除法来把一个合数分解质因数？

一般要用一个能够整除这个合数的较小质数去除，所得的商是合数就继续用质数去除，如果所得的商是质数，就把除数和商写成相乘的形式。 注意：需要分解的合数一定要写在前，一定要从较小的质数开始去除。 找最大公因数和最小公倍数的方法： 1. 用分解质因数的方法；

2. 用短除法：要用公有的质因数去除，除到商是互质数为止。

短除法求最大公因数的方法：要用公有的质因数去除，除到商是互质数为止。只把除数相乘。 短除法求最小公倍数的方法：要用公有的质因数去除，除到商是互质数为止。把除数和商一起相乘。 我的发现： 如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是它们的最大公因数。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是它们的最小公倍数。

也就是说：如果两个数是倍数关系，小数是它们的最大公因数，大数是它们的最小公倍数。

如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1， 最小公倍数是它们的乘积。

找两个数的最大公因数和最小公倍数时要注意：

要先观察两个数的数字特点：两数是倍数关系时；两数是互质数时，直接运用 “我的发现”写出来就是了。 除此以外的，就需要选用短除法找两个数的最大公因数和最小公倍数。

找三个数的最大公因数和最小公倍数方法与找两个数的最大公因数和最小公倍数的方法基本相同，但也有不同。同学们要认真记住不同的地方。

利用求最大公因数的方法解决实际问题：

例题 一个长方形，长80分米，宽20分米，现在把长方形分成若干个正方形，要使正方形的边长尽可能长，并且长方形的长宽没有剩余，可以分多少个正方形？

分析： 要使长方形的长宽没有剩余，说明正方形的边长既是长的因数，又是宽的因数，也就是长和宽的公因数，而且要使正方形的边长尽可能长，那么正方形的边长就是长和宽的最大公因数。先求出它们的最大公因数即：正方形的边长。再用长方形的面积除以每个正方形的面积，就可以求出分成多少个正方形。

练习：1、 有两根木料，一根长12米，一根长18米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少小段？

2、 把一张长96米，宽80米的长方形纸裁成相等的正方形纸而没有剩余，至少能裁多少片？

3、某小五年级有学生108人，六年级有96人，在一次全校活动中要把两个年级的学生分成相等的小队，每个小队的人数最多是多少？

利用求最大公因数的方法解决实际问题的关键词：没有剩余、最多、最大、最长等。

利用求最小公倍数的方法解决实际问题：

例题： 1 、有一包糖果，无论是分给8个人，还是分给10个人，都是正好分完，这包糖果至少有多少块？

分析： 因为无论是分给8个人，还是分给10个人，都是正好分完，所以这包糖果的个数既是8的倍数，又是10的倍数，也就是它们的公倍数， 问题问：这包糖果至少有多少块？也就是求它们的最小公倍数。

2、一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4名余2名，第二次分组每组5名也余下2名，你知道最少有多少名小朋友做游戏吗？ 分析： 每组4名余2名，说明总人数比4的倍数多2。每组5名也余2名，说明总人数比5的倍数多2，要求最少有多少名小朋友做游戏，也就是求4和5的最小公倍数再加上2。

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