高中数学-公式-平面向量

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平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。〔1〕向量式：a∥b(b≠0)a=b;〔2〕坐标式：a∥b(b≠0)x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 〔1〕向量式：a⊥b(b≠0)ab=0; 〔2〕坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=abcos=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A〔x1,x2〕、B(x2,y2)，那么S⊿AOB＝5.平面向量数量积的坐标表示：

〔1〕假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=x1x2+y1y2;AB〔2〕假设a=(x,y),那么a2=aa=x2+y2,a



十、向量法

1

x1y2x2y1； 2

(x1x2)2(y1y2)2;



x2y2;

v，那么： b，平面、的法向量分别是u、1、设直线m、l的方向向量分别是a、

〔1〕线线平行：l∥ma∥bakb 〔2〕线面平行：l∥auau0

〔3〕面面平行：//u//vukv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

v，那么： b，平面、的法向量分别是u、2、设直线m、l的方向向量分别是a、

〔1〕线线垂直：lmabab0 〔2〕线面垂直：la∥uaku 〔3〕面面垂直：uvuv0

v，那么： b，平面、的法向量分别是u、3、设直线m、l的方向向量分别是a、

〔1〕直线m、l所成的角(0



2

)，cos

abab



〔2〕直线l与平面所成的角(0



2

)，sin

auau



〔3〕平面与平面所成的二面角的平面角(0)，cos

uvuv







教学过程： 二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．



⑴加法交换律：a +b = b + a；



⑵加法结合律：(a + b) + c =a+ (b + c)；

.


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

⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb；



⑶数乘结合律：λ(ua) =(λu)a ．

4. 推广：⑴A1A2A2A3A3A4An1AnA1An；

⑵A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．



向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理， 二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线



向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：



共线向量定理：空间任意两个向量a、b〔b≠0〕，a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.



理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a∥b〔a≠0〕，那么有b＝a，其中是唯一确



定的实数。②判断定理：假设存在唯一实数，使b＝a〔a≠0〕，那么有a∥b〔假设用此结论判断a、b



所在直线平行，还需a〔或b〕上有一点不在b〔或a〕上〕.



⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为 |a|，当>0时与a同向，当<0时与

a反向的所有向量.



3. 推论：如果l为经过点A且平行于非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是



存在实数t满足等式 OPOAta．

平面向量根本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与平面α平行或在平面α内，那么称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的． 2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内． 5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ． 证明：必要性：由，两个向量a、b不共线． ∵ 向量p与向量a、b共面

∴ 由平面向量根本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．

充分性：如图，∵ xa，yb分别与a、b共线， ∴ xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴ p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得

MPxMAyMB，① 或对于空间任意一定点O，有 OPOMxMAyMB．②

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数； ⑵由OPOMxMAyMB

得：

OPOMx(OAOM)y(OBOM)， ∴OP(1xy)OMxOAyOB ③

1. 两个非零向量夹角的概念：两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞． 当＜a、b＞＝０时，a与b同向； 当＜a、b＞＝π时，a与b反向； 当＜a、b＞＝



时，称a与b垂直，记a⊥b． 2

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

.

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