正弦函数、余弦函数的性质之--定义域与值域

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第二十七教时

教材：正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域

目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函

2k即x= (kZ>时ymin=-2 234



2 y=(sinx-2>2+1 ∴当x=2k- kZ时ymax=10

2当3x+=2k-

4

数的最值和值域。

过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法



二、研究性质：y y

1．定义域：1 y=sinx, y=cosx的定义域为R

1 2．值域：

32

2



32

2

2

2



2

2

1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：-o x |sinx|-o ≤1, |cosx|≤1 <有界性）x 再看正弦函数线<图象）验证上述结论

∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1]

2对于y=sinx 当且仅当x=2k+



2 kZ时 ymax=1 当且仅当时x=2k-

2

kZ时 ymin=-1

对于y=cosx 当且仅当x=2k kZ时 ymax=1

当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=-1

3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知 当2k (kZ>时 y=sinx>0 当(2k-1> (kZ>时 y=sinx<0

当2k-

2+

2 (kZ>时 y=cosx>0 当2k+2+3

2

(kZ>时 y=cosx<0

三、例题：

例一 例二）略

例二 直接写出下列函数的定义域、值域： 1 y=

1

1sinx

2 y=2cosx 解：1当x2k-1

2 kZ时函数有意义，值域:[2,+∞]

2 x[2k+2, 2k+3

2

] (kZ>时有意义, 值域[0, 2]

例三 求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+

>-1 2 y=sin23cosx4x-4sinx+5 3 y=3cosx 解：1 当3x+2k

4=2k+2即 x=312

(kZ>时ymax=0

当x=2k-

2

kZ时ymin= 2

3 y=-1+1

3cosx

当x=2k+ kZ时 ymax=2

当x=2k kZ时 ymin= 1

2



例四、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。 解：当k>0时 

kb2kkb43



b1

当k<0时 

kb2k3

kb4

b1<矛盾舍去）

∴k=3 b=-1

例五、求下列函数的定义域：

1 y=3cosx12cos2x 2 y=lg(2sinx+1>+2cosx1 3 y=cos(sinx) 解：1 ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴1

2

≤cosx≤1

∴定义域为：[2k-

3, 2k+

3] (kZ> 

2 sinx1

22k6x2k76(kZ) cosx122k3x2k

3

2k



6

x2k



3

(kZ) ∴定义域为：(2k





6,2k3

](kZ)

3 ∵cos(sinx>≥0 ∴ 2k-

2≤x≤2k+

2

(kZ> ∵-1≤sinx≤1 ∴xR cos1≤y≤1

四、小结：正弦、余弦函数的定义域、值域

五、作业：P56 练习4 P57-58习题4．8 2、9

《精编》P86 11 P87 25、30、31





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