数学的论证方法

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数学的论证方法

［ 作者： 点击数：1678 更新时间：2003-11-15 ］



数学的论证方法 1、演绎法

由已知普遍事物的成立推断某特殊事物也成立，即由一般性原理得到特殊性结论的推理方法叫做演绎法。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系，其特殊性的结论包含在一般性原理之中。因此，只要推理的前提正确，推理符合逻辑，那么所得的结论就一定正确。因此，演绎推理可以做为数学中严格证明的工具。

中学数学教材基本是以演绎推理作为主要推理形式，运用最普遍的是“三段论”式的结构，它由两个前提（分别称之为大前提、小前提）和一个结论构成。大前提是具有一般性的原理，如已知的公理、定理、定义、性质等；小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命题中给出的已知条件；结论是根据两个前提推出的判断。其模式为： 大前提：一切A都是B（或A具有性质B）， 小前提：C是A（或C在A内）， 结论:C是B（或C具有性质B）。 2、分析法与综合法

分析法与综合法是在中学数学中广泛应用的逻辑方法，在科学认识论中占有重要的地位。分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法。对此，法国数学家笛卡尔（Descartes）在其著作《逻辑学》一书中，列举了一个生动形象的例子：“我和查理大帝是否有血缘关系呢？可以用两种方法回答这个问题。一是在家谱里从后往前查，即从我查到查理大帝；二是在家谱里从前往后查，即从查理大帝查到我。假如我们两个人的名字在同一个家谱上，那么我们就有血缘关系。”在这个例子里，前一种方法是指分析法，后一种方法便是指综合法。 3、公理化方法

数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（基本公理、公设）出发，应用严格的逻辅推理推导出其余的命题和定理，使某一数学分


支成为演绎系统的一种方法。由于它的出发点是一组基本概念和基本公理，因此如何引进公理和基本概念是运用公理化方法的关键，也是这种方法的基本内容。

基本概念是一些不加定义的原始概念，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念去定义。如中学数学中的自然数、点、线、面、集合等概念都是基本概念，在教学中只能用描述的方法来确定它们的范围。

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定。如“过两点至少有一条直线”、“无穷集合是存在的”等都是作为公理的命题。 一个良好的公理系统应满足三项基本要求：

①相容性，也称无矛盾性或协调性。是指同一公理系统中的公理不能自相矛盾，由这些公理推出的一切结论也不能有丝毫的矛盾。否则，若某一公理系统中存在两个相互矛盾的命题，那么它在逻辑上就是错误的，更谈不上将其运用到实际中去，因而它就不具有存在的价值。 ②独立性。公理的独立性是指公理系统中的每一条公理都有存在的必要。换言之，公理系统中的任何一条公理不能用别的公理推导出来。所以，公理的独立性，实际上就是要求系统中的公理的数目减少到最低程度，不允许出现多余的公理。

③完备性。公理的完备性就是要求本公理系统所建立的数学分支的全部命题能毫无例外地在本系统中被证明，而在证明过程中无须再用到直觉。因此必要的公理不能省略。否则这个数学分支的某些命题得不到理论的证明或证明的理由不充分。

上述三项基本要求，相容性是最主要的。因为一个公理系统如果违反了相容性的要求，所推出的结果必然是矛盾百出，造成逻辑上的混乱。这样的公理系统毫无实际价值。独立性和完备性则是第二位的要求，对于一个严谨的公理系统，这两个要求也应得到满足。但是，许多复杂的数学分支，要它的公理系统都能满足上述三个基本要求，常常是困难的。例如，欧几里德的《几何原本》可以说基本上满足了要求，对第五公设历史上许多数学家都认为它是非独立的、多余的，并试图证明它，然而这些企图都失败了。这也就说明了《几何原本》是一部最早应用公理化方法的典范。

公理化方法的作用，主要有以下三点：

①概括整理数学知识。公理化方法具有概括整理数学知识的作用，使零散的数学知识用逻辑的链条串连起来，形成完整的知识体系，从而便于掌握和应用。《几何原本》就是欧几里德用公理化的方法把零散的几何知识归为一体，树立了以公理化方法研究数学的典范。

②促进新理论的创立。由于公理化方法把数学分支的基本分析得十分清楚、结构严谨有序，这


就有利于比较数学各分支的实质上的异同，从而推动和促进数学新理论的产生，促进数学基础的研究与探索。例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的。

③对其它学科有示范作用。由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性和结构的和谐性，从而为其它科学理论的表述起了示范作用。其它科学纷纷效法建立自己的公理化系统。例如，18世纪拉格朗日的《解析力学》，20世纪40年代波兰的巴拿赫的《理论力学》以及相对论等等，都使用了公理化的方法。

当然,我们也不能把公理化方法绝对化，必须辩证地看到它的不足之处。公理化方法如果不与实验方法相结合，则可能玄乎其玄，陷入错误而不知；如果不与认识论的科学方法相结合，也不会更好地发现问题；公理系统的相容性、独立性和完备性要求，不仅在理论上难以完全满足，而且对于一些新兴数学分支或与生产实际密切的学科的发展，有时反而成了一种障碍或束缚。此外应该看到，用公理化方法建立起来的理论体系，最终还是要经受实践的检验，以判定其真伪。 4、化归方法

化归是解决数学问题的一种重要思想方法。化归思想贯穿于整个数学之中，掌握这一思想方法、学会用化归思想分析问题、处理问题有着十分重要的意义。所谓化归就是在我们解决问题时，总是把要解决的问题设法转化为某个（或某些）我们已经解决了的问题。这种思想方法在中学数学教材中可以说处处可见。

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