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期末试题摘录
1、
xdyydxxy
2
2
L
=0,其中L为圆周x2y21按逆时针转一周.
核心提示:教材例题
xyzdS=( )
2
2
2
2、如果代表球面x2y2z21,则
43
(A)2 (B)4 (C) (D)3
核心提示:先代入即可
(x,y)(0,0)
3、求极限
lim
xyxy
2
2
.
核心提示:夹逼法
2
2
L
4、计算(2xyx)dx(xy)dy,其中L是由抛物线yx2,xy2所围成的区域的正向边界曲线.
核心提示:按“一代二定限”或格林公式算即可 核心提示:条件极值
5、在椭圆x24y24上求一点,使其到直线2x3y60的距离最短.
(2x1)
n
n
6、求幂级数
n1
的收敛区间和收敛半径.
核心提示:先求导再求和函数
1010
7、曲线yx2上从点(0,0)到(1,1)这段弧长为( ) (A)(C)
1xdx; (B)14xdx; (D)
aa
2
22
1010
1xdx; 12xdx.
4
核心提示:记住弧长微分公式即可
axdx .
2
8、设a0,由定积分的几何意义知,
2
核心提示:几何意义
2
9、由直线y0,x8及抛物线yx围成一个曲边三角形,在曲边yx上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y0及x8所围成的三角形面积最大.
核心提示:定积分几何意义、最值
2010年成都大学第一届竞赛题填空
填空题(每题2分,共20分) 1. 设lim
n
n
n(n1)
2011,则________,_______。
核心提示:考虑二项式展开、求极限与最高次幂的系数关系
。2. 设f(x)x(x1)(x2)(x1000),则f'(0)
核心提示:定义求法
。
3. 函数f(x)(x23x3)ex在[4,)内的最小值为
核心提示:教材基本求法
4. 求极限设a0,b0,则
1n
2
a0
dxe
0
b
max{bx,ay}
2222
dy
。
核心提示:二重积分,分片,选序
n
5.求极限lim
(n2nn)1n
2
2
2n
n)
2
核心提示:定积分的定义
(n
1n
(
1n
2n
nn
)
6.级数
n1
(x2)n4
n
2n
的收敛域为____________。
核心提示:缺奇数次幂---绝对比值法
7. 一平面经过(1,0,1)和(2,1,3),且垂直于x2y3z20,则该平面方程为_____。
核心提示:基本理论
8. 函数uln(x2y2z2)在M(1,2,2)处的梯度gradu|M为____________。 核心提示:基本理论
9.求值
2
sinxx2
4
____________。
xy1
2
核心提示:对称区域上的重积分
10、(2011年成都大学数学竞赛)设a0,{xn}满足:
x00,xn1
12(xn
axn
),
n0,1,2,
证明:{xn}收敛,并求limxn。
n
核心提示:单调有界原理-----高手可以尝试定义法
2010年竞赛题部分
11.设D{(x,y)|0yx,xy2x},则
D
22
xydxdy
22
=____________。
核心提示:极坐标(重积分选系)
12. 级数(xn)3中x20的系数为
n1
。
核心提示:基本理论
13(2011年成都大学数学竞赛)设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数,且
zf
xy
22
满足等式x
z
2
2
zy
2
2
0.
(I)验证f(u)
0; u
(II)若f(1)0,f(1)1,求函数f(u)的表达式.
f(u)
核心提示:偏导数、常微分方程——综合题
xy0,xy0.
2
2
2
2
22
xy
,xy22
14(2010年成都大学数学竞赛)设二元函数f(x,y)xy
0,
求:
(1)afxy(0,0)和bfyx(0,0)的值;
2
x
(2)满足y'(x)xy'(x)k(待定常数)及y(0)a,limy(x)b的函数yy(x)的表达式。
核心提示:偏导数、极限、微分方程
思考
1判断:设
f(x)
是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则当f(x)为奇函数时,F(x)必为
偶函数( )
2判断:设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则当f(x)为单调增函数时,F(x)必为单调增函数. ( ) 3. 填空F(x)
x0
(xt)f(t)dt
22
对x的导数是( )
x2y22
,xy022
4. 设f(x,y)xy,则f(x,y)在点(0,0)的偏导数是( )
22
,xy00
(A) 不连续;
(C) 可微;
(B) 连续但偏导数不存在; (D) 连续且偏导数存在但不可微.
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