专题研究——杨辉三角形

2022-04-10 02:30:12   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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有趣的杨辉三角形

教学目的 1 初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律; 2 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,重点培养创新能力; 3 了解我国古今数学的伟大成就,增强爱国情感. 教学手段

课堂教学,以学生自学为主,教师引导探索。 教学思路

→学生自学教材,然后思考几个问题。 →分组探讨杨辉三角的性质。 →展示学生探究成果 教学小结 自学教材

1 什么是杨辉三角

二项式(a+bn展开式的二项式系数,当n依次取123.时,列出的一张表,叫做二项式系数表,因它形如三角形,南宋的杨辉对其有过深入研究,所以我们又称它为杨辉三角.(表1



例如,它的兩項的係數是11

,它的三項係數依次是121

,它的四項係數依次1331

2 杨辉——古代数学家的杰出代表

杨辉,杭州钱塘人。中国南宋末年数学家,数学教育家.著作甚多,他编著数学书共五种二十一卷,著有《详解九章算法》十二卷(1261年)《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷.其中后三种合称《杨辉算法》,朝鲜、日本等国均有译本出版,流传世界。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中,此书还说明

表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.杨辉指出这个方法

出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚11世纪.

在欧洲,这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的(Blaise Pascal, 1623~1662年),他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

3 观察杨辉三角所蕴含的数量关系(表2






4杨辉三角基本性质

教学意图 介绍杨辉三角蕴含的基本规律

1)表中每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是Cn

r

n!



r!(nr)!

21

rr1rCnCn1Cn1

rnr3)杨辉三角具有对称性(对称美),即CnCn

4)杨辉三角的第n行是二项式(a+bn展开式的二项式系数,即

0n1n11rnrrnn

(ab)nCnaCnabCnabCnb

自学引导

杨辉三角有趣的数字排列规律

注意观察方法:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多种角度观察(横看成岭侧成峰,远近高低各

不同!

1杨辉三角的第13715行,即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点?

K

2行呢?

2K-1(k是正整数)行的各个数字均为奇数.第2K行除两端的1之外都是偶数



2)杨辉三角第5行中,除去两端的数字1以外,行数5整除其余所有的数.你能再找出具有类似性质的三行吗?这时的行数P是什么数?

23711等行.行数P是质数(素数)

3)计算杨辉三角中各行数字的和,看有何规律:

012rn1nn

nCnCnCnCnCnCn2

4)从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩” 出发, 向右(左)上方作一条和左斜边平行的射线,在这条射线上的各数的和等于这个数.


例如:101234 2013610 于是有一般性结论:

一般地,在第m条斜线上(从右上到左下)前n个数字的和,等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数.

根据这一性质,猜想下列数列的前n项和: 111 .+1 Cn (第1条斜线) 123 .+Cn1 Cn (第2条斜线) 136 .+Cn1 Cn(第3条斜线) 1410 .+Cn1 Cn(第4条斜线)

rr1CrrCrr1Crr2Cn1Cn (第r+1条斜线)

3

4

2

3

1

21



5)如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?

112358132134 此数列{an}满足, a1=1,a2=1, an=an-1+an-2 (n3)

这就是著名的斐波那契数列(斐波那契,中世纪意大利数学家,传世之作《算术之法》 结论:斜线上各行数字的和,正好组成斐波那契数列.



6)杨辉三角与“纵横路线图”

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题.图1是某城市的部分街道图,纵横各有五条路,如果从A处走到B (只能由北到南,由西向东),那么有多少种

4

不同的走法?C870

我们把图顺时针转45度,使A在正上方,B在正下方,然后在交叉点标上相应的杨辉三角数.有什么有趣的结

一般地,

每个交点上的杨辉三角数,就是从A到达该点的方法数 由此看来,杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系. 7)计算11123、……次幂,看一看与杨辉三角 什么有趣的联系?



8)杨辉三角与“堆垛术”(三角垛,正方垛, 我国古代数学的伟大成就——堆垛术,学生自行探究

将圆弹堆成三角垛:底层是每边n的三角形,向上逐层每边少一个圆弹,顶层是一个圆弹,求总数.








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