悖论 2

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悖论及其意义

〔摘要〕悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学等学科的非常广泛的论题。文章将

数学悖论作为考察的重点，通过对数学悖论在历史发展中的作用的论述，认为悖论反映了人类认识过程中的形而上学、绝对化观点的受挫，使人们更加冷静地认识理论，悖论给科学带来和将带来丰富的创造与巨大的进步。

〔关键词〕悖论；数学悖论；认识论

悖论，早在古代哲学史中就作为一个引人瞩目的语言现象和逻辑现象而存在。但在相当长的一段时间内，未能引起哲学家和数学家们的足够重视，因为人们通常认为悖论不过是巧妙编制的谬论，直到1901 年，著名的哲学家、数学家罗素在集合论中发现震动性的罗素悖论，才使大家转变了对悖论的认识。回顾自然科学的发展史，曾出现过大量的悖论，引起了一次又一次科学理论的危机，给一些人带来了烦恼和失望。然而正是这些悖论的出现和消除，极大地促进了自然科学的发展，标志着科学的真正进步。本文以数学悖论为研究重点，对悖论的发展及其意义提出自己粗浅的看法。

一、悖论的概念

“悖论”一词来自希腊文，是超出、违反、对抗之意和料想之意的合称。笼统地讲，悖论是逻辑学的名词，是指一种导致矛盾的推理过程。中国大百科全书哲学卷曾这样定义悖论：指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命题A，若肯定A，就推出非A；反之，若肯定非A，又可以推出A。科学中的悖论的原意是“悖理”，是“悖于情理”的简称。在科学发展中，如果新思想同公认的传统思想相矛盾，最初常常被视为悖论。哥白尼的日心说、达尔文的进化论在提出之时在神学家与多数人看来就是悖论，即新理论和旧理论的矛盾，正因为如此，科学中悖论的产生常常预示着认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展的动因，是一个历史范畴，必须在一定的理论体系与人类认识水平上予以理解。

悖论与通常的诡辩或谬论的含意是不同的，诡辩、谬论不仅从公认的理论上看是错误的，而且通过已有的理论、逻辑可以论证其错误的原因，而对于悖论虽然感到不妥当，但从它所在的理论体系内，却不能阐明其错误的原因，可见悖论对于它所在的历史阶段与科学理论体系而言是解释不了的矛盾，正如Y.HILLEL 所说：如果某理论和推理原则上看是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论。其中所谓的互相矛盾的命题是指推出了一个命题和它的否定，所谓互相矛盾的等价式指的是如果肯定一个命题，可以推出它的否定；反之，如果肯定这个命题的否定，可以推出这个命题。

数学中的悖论也如在科学与通常上对悖论的理解，尽管在科学领域中，数学历来被视为严格、和谐、精确的典型学科，正如大数学家希尔伯特曾问到“如果连数学思考都失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”事实上，数学发展从来不是直线式的，也并不总是和谐的，而是常常出现悖论，但正是这些重要悖论的产生，为未来的发展提供了契机，进而艰难的悖论总是以熠熠生辉的方式使之得到美妙的结论。但悖论在数学中也出现了一种严重的问题，所造成的事实是对数学基础的怀疑及对数学可靠性的动摇，甚至导致“数学危机”，正如著名逻辑学家A. 塔斯基指出的“我们知道，一个有矛盾的理论一定包含假命题，而我们是不愿意把一个已被证明包含这种假命题的理论看成是可以接受的。我相信，每个人都同意这一点：一旦我们在一个理论中推出两个互相矛盾的命题，这一理论就变得不可接受了。”因此，数学悖论的产生使人们更加自觉地认识到其在数学发展中的重要性。

二、悖论的历史与现状

悖论的历史起源几乎可以说与科学史同行，自古希腊和我国先秦以来，悖论曾被历代哲学家


和数学家不同程度地思考过，一个有名的悖论传说出自公元前6 世纪古希腊的克里特人，说有一个克里特人说：“所有的克里特人都是说谎者”，从这句话判断若此话为真，则它是谎话，即说明这句话的假；若此话为假，而本来这人说的是谎话，所以成了真话，即这句话是真话，简单推理即：若A 为真推出A 假；若A 不真即假，推出A 真，是一个典型的悖论，曾使希腊人大伤脑筋而无法解释清楚。

在西方圣经《新约》中也用过这样的说谎者悖论，还有类似传说出自古希腊的哲学家的悖论，即柏拉图说：下面苏格拉底说的话是假的，而苏格拉底说柏拉图（前面）说了真话。还有一位美国数理学家写了一本书，其书名就叫“这本书的书名是什么”，这句话的答与问是难以区别的。类似的像先有鸡、先有蛋的无穷反复、无穷倒退的循环推理，到1947 年第一台用于解决逻辑问题的计算机研制成功后，当把“说谎者悖论”输入，即判断语句“这句话是错的”是真是假时，计算机发狂地反复不断地打出“对、错、对、错⋯⋯”。

关于悖论长期以来特别是近代被广泛地深入研究，一直推动着数学哲学界的人们的认识。在数学发展史上，“毕达哥拉斯悖论”，即古希腊“不可公度线段”的发现，曾引起了第一次数学危机，更重要的是给人们的认识带来了显著的变化。在古希腊人们对有理数无限信仰的年代里，毕达哥拉斯的学生通过不可通约线段发现了无理数，即由毕达哥拉斯定理出发，发现了等腰直角的三边之比不能用整数来表示，产生了“ ”这个数，这无疑与毕达哥拉斯学派所谓的“实在是数的摹仿”、“宇宙间一切现象都能归结为整数之比”的哲学信仰相矛盾，因而被视为悖论，这一悖论使毕达哥拉斯学派与哲学陷入严重的危机，也使数学史上出现了第一次数学危机，正如一位数学家所讲“这是第一次数学危机，绝不言过其词，而是非常恰当的”。“芝诺悖论”又一次把数学中的重大矛盾以悖论的形式揭露出来，对数学发展的促进作用是不言而喻的。

古希腊埃利亚学派的芝诺大约创设了40 个悖论，其中最有名的是“二分法”、“阿基里和乌龟赛跑”、“飞矢不动”、“一倍的时间等于一半的时间”（运动场）的悖论，“二分法”和“飞矢不动”的论证与中国古代哲学家庄子在《天下篇》中所说的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”和“飞鸟之景，未尝动也”的命题是一样的，这些都包含着深刻的数学及哲学意义，含着连续与间断、无限与有限、整体与部分的深刻矛盾，深化了数学及哲学家关于一和多、不变与变之间的讨论。正是由于“芝诺悖论”涉及运动学、认识论、数学及逻辑学的问题，使它在历史上引起了长久的思索，至今仍有理论上的无穷魅力，因此芝诺被推崇为辩证法的创始者。

由于人们认识的局限性，产生了很多著名的悖论，如古典数学名著欧几里得的《几何原本》的第一个注释者普罗克洛斯产生的“一个无穷大等于两个无穷大”的悖论，亚里士多德的“大小不同的两个圆之周长相等”的悖论，还有伽利略的“部分等于主体”的悖论。当然随着科学的发展，特别是数学数域的扩大，这些悖论被自然地解决了，这也正好印证了前面提到的“悖论是一个历史范畴”。在17 世纪末18 世纪初，贝克莱悖论（无穷小悖论）随着牛顿莱布尼茨微积分的诞生而产生，微积分的发明一方面给传统数学方法带来巨大的变革，另一方面也给传统数学带来无法理解的概念与方法，突出表现在对“无穷小”概念的理解，作为微积分中心概念的“导数”是两个无穷小之商dy / dx，那么这个无穷小“既有零的特征，但又不等于零”，即如果dx =0，就得出dy / dx = 0 / 0 这一毫无意义的结果；如果dx≠0，无论dx 如何小，则dy / dx 只能是“预备导数”，而不是真正的导数，这就是贝克莱悖论，微积分由此而变得“神秘”，对这个悖论的解释引发了数学的第二次危机，归根结底是人们对变量及“有限”、“无限”的认识缺陷，到柯西那里把无穷小定义为一个以零为极限的变量才使无穷小悖论得到满意的克服，使辩证的思想深入数学之中。

大家都知道，现代数学的逻辑层次就是集合，自康托尔从简单的自然数开始，成功创造了集合论的体系，开辟了实数基础的新天地，再加上微积分的基础极限论是建立在实数论

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