增根是什么

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增根是什么

什么是增根？就像两张相同大小的纸片，剪去其中的一条边长，剩下的部分仍然可以完整地拼成一张新纸。这样说来，两张纸片的任何部分都不能算作另外那张纸片的一个组成部分了吗？显然不是！即使把这两张纸片互换位置，也可以得到正确的结论。因此，我们又称它为周期性的定理，并且叫做增根定理。如： 所谓“无理数”就是一个数，当用一般的方法进行计算时，却发现这种数的每一个正整数倍的平方根均为无理数，例如π，在没有近似值之前是无限不循环小数；π=3.14159265……；-π=0……而小数点后面第二位、第三位……第 N 位数字，只要知道他们的倒数就行了，比如1/10、π/3等。由于增根不仅在实数范围内存在，而且还在复数范围内出现过。但增根问题虽然属于“无穷集合”里的一类问题，但绝对不是天方夜谭。若干年前，就已经有人提出利用增根来解决著名的费马猜想。

最后，让我们回到我国古代著名的几何学家——刘徽身上吧。《九章算术》第四卷《方程》篇第八题曾列举了很多求不定方程解的例子。关于方程，书中谈到：一次齐次方程必有增根；一次非齐次方程则没有增根；线性方程不会产生增根，而非线性方程则既有可能产生增根，也有可能不产生增根；多项式方程可能会产生增根。关于“增根”的概念，书中指出：“自乘之数及外幂均有乘方之数，故云“皆有增根”。”并引入了“连续复数”这个概念。刘徽将“增根”和“无穷”联系起来，建立了增根的基本概念。按照



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刘徽的看法，“增根”和“无穷”是两个不同的东西，在某些情况下甚至截然相反，但在大量的情况下，二者又密切联系，相辅相成，缺一不可。

如果你想到一个具体的问题，首先考虑是否能用初等方法来处理；如果遇到困难，再转向解高次方程或高次不定方程；直到实在找不到办法为止。由于实际应用的需要，通常对所讨论的问题，给出各种具体的初等证明（如代数证明、几何证明），从而使读者明白所论述的问题究竟怎样才能简单、巧妙地加以证明。事实上，许多著名的数学问题恰好就是增根问题的一种特殊情形，这也正是刘徽研究“增根”问题的原因。

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