导数与函数的单调性、极值和最值

2023-01-01 20:00:22   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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导数与函数的单调性、极值和最值

导数与函数极值和最值 1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)0 f′(x)0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大,

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)0 f′(x)0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)__________,f(b)叫做 函数y=f(x)________.极小值点、 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤: 求导数f′(x); 求方程f′(x)=0的根; 检查方程根左右两侧值的符号,如果

左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正,那么f(x)在这

个根处取_________. 极小值

3.函数的最大值与最小值 在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可 导,f(x)[a,b]上求最大值与最小值的步骤: 极值 (1)f(x)(a,b)内的______; (2)f(x)的各极值与f(a),f(b)比较, 最大值 中最大的一个是________,最小的一个 最小值 _________.

1.函数f(x)=x-lnx的单调减区间是________. (0,1) 2.函数y=2x3-3x2-12x+5[0,3]上的最大值, 最小值分别是______________. 5,-15 3.函数f(x)=x3-3x2+1x=________处取得极小值 2 4.函数y=ax3-x(-∞,+∞)上是减函数,则a


(-∞,0] 的取值范围是_______________.5. 若函数f(x)=3x3+2x2-1(m,0)上为减函数,则m的取值范围是________. 4 [ , 0) 9

3 6.已知函数f ( x) ax 3 x 1 a (a Ra 0)3 2

试求函数f ( x)的极大值与极小值。7.已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.xf′(x)≤x2+ax+1,a的取值范围;

由题设知 a≠0,f′(x)=3ax2 2 -6x=3ax(x- ). a 2 f′(x)=0,解之得 x=0 x= . a a0 时, x 的变化,f′(x) f(x) 的变化情况如下: x f′(x) f(x) (- ∞, 0) + J 0 0 极大 (0, 2 ) a - K 2 a 0 极小 2 ( ,+ a ∞) + J

3 2 ∴f(x)极大值=f(0)=1- ,f(x)极小值=f( )= a a 4 3 - 2- +1. a a a0 时,随 x 的变化,f′(x) f(x) 的变化情况如下:x (- 2 ∞, ) a - K 2 a 0 极小 2 ( , 0) a + J 0 (0,+ ∞) - K f′(x) f(x) 0 极大

3 2 ∴f(x)极大值 =f(0)=1- ,f(x)极小值 =f( )= a a 4 3 - 2- +1. a a 综上, a∈R, a≠0 时, 极大值 =f(0) f(x) 3 2 4 3 =1- ,f(x)小值=f( )=- 2- +1. a a a a

x+1 1 解:(1)f′(x)= +lnx-1=lnx+ , x x xf′(x)=

xlnx+1, 2 ∴xf′(x)≤x +ax+1 等价于 lnx-x≤a. 1 g(x)=lnx-x, g′(x)= -1. x 0x1 时,g′(x) x≥1 时,g′(x)≤0, ∴x=1 g(x)的最大值点,g(x)≤g(1)=-1. ∴a 的取值范围是[-1,+∞).


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