建模流程

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数学建模的一般方法

建立数学模型的方法并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 1． 机理分析

机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。

（1） 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

（2） 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 （3） 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

（4） 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率" 的表达式。

（5） 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 2． 测试分析方法

测试分析方法就是将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。

（1） 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,„,n，

确定函数的表达式，由于处理的是静态的

实际问题 独立数据，故称为数理统计方法。

（2） 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

将这两种方法结合起来使用，即用机理分

抽象、简化、假设 析方法建立模型的结构，用系统测试方法 确定变量、参数 来确定模型的参数，也是常用的建模方法,

在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的

建立数学模型并数学、来决定。机理分析法建模的具体步骤大致数值地求解、确定参数 可见左图。

3．仿真和其他方法

（1） 计算机仿真（模拟）--实质上是统

用实际问题的实测数计估计方法，等效于抽样试验。 据等来检验该数学模① 离散系统仿真--有一组状态变

型 量。 不符合实际 符合实际

② 连续系统仿真--有解析表达式

或系统结构图。 （2） 因子试验法--在系统上作局部试验，交付使用，从而可产生

再根据试验结果进行不断分析修改，求得经济、社会效益

所需的模型结构。

（3） 人工现实法--基于对系统过去行为

建模过程示意图 的了解和对未来希望达到的目标，并考虑

到系统有关因素的可能变化，人为地组成

一个系统。（参见：齐欢《数学模型方法》，华中理工大学出版社，1996）




四、数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等．

2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等．

按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模．

3.按照模型的表现特性又有几种分法：

确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型．

静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化．

线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的．

离散模型和连续模型 指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的．

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法．

4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等．

5.按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．



五、数学建模的一般步骤

建模的步骤一般分为下列几步：

1．模型准备。首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息。

2．模型假设。在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计

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