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奇数与偶数
用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．
奇数和偶数有以下基本性质： 性质1 奇数≠偶数．
性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数． 性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．
性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数． 性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．
性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．
性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶． 性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．
性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数.
性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明．
性质7的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．
同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶． 性质8的证明 设两个整数为X，y．因为
(x+y)+(x-y)=2x
为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．
性质9的证明 若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是
x2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1．
因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．
若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是
y2=(2t)2=4t2
所以，y2是4的倍数． 例3己知：a,b,c都是奇数
求证：方程ax+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
2
若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。
既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x－y＝60的正整数解 解：(x+y)(x－y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数
因此x, y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组
xy30xy10
xy2xy6
2
2
解得
x16y14
x8y2
x16y14
∴方程x2－y2＝60的正整数解是
x8y2
题1、若7个连续偶数之和为1988，则此7个数中最大的一个是（ ） A、286 B、288 C、290 D、292
题2、在1992个自然数：1，2，3，„，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”，则其代数和一定是（ ）
A、奇数 B、偶数 C、负整数 D、非负整数 题3、已知p为偶数，q为奇数，方程组的
x1998yp1999x3yq
解是整数，那么（ ）
A、x是奇数，y是偶数 B、x是偶数，y是奇数 C、x是偶数，y是偶数 D、x是奇数，y是奇数
题4、如果a、b、c是正整数，a和b是奇数，那么3a+（b-c）2·C （ ） A、对于c的所有选择都是奇数 B、对于c的所有选择都是偶数
C、当c为偶数时，为奇数；当c为奇数时，为偶数 D、当c为奇数时，为奇数；当c为偶数时，为偶数
题5、若n是大于1的整数，则p=n+（n-1）的值（ ） A、一定是偶数 B、一定是奇数
C、是偶数但不是2 D、可以是偶数也可以是奇数
题6、下列各组数中，只有一组不满足方程85x-324y=101，请问是（ ） A、x=1301，y=34 B、x=329，y=86
2
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2023-02-12
