函数周期性结论总结

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函数周期性结论总结

① fx+a=-fx T=2a ② fx+a=±

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T=2a f(x)

③ fx+a=fx+b T=|a-b|

证明： 令x=x-b 得 fx-b+a=fx-b+b fx-b+a=fx 根据公式fx=fx+T=fx+nT 得 T=-b+a 即a-b

④fx为偶函数,且关于直线x=a对称,T=2a 证明：fx+2a=f-x=fx

证明：因为 偶函数,所以 f-x=fx因为 关于x=a对称

所以 fa+x=fa-x 对称性质设 x=x+a 所以 fx+2a=fx 所以 周期T=2a ⑤fx为奇函数,且关于直线x=a对称,T=4a

证明：fx+2a=f-x=-fx 根据①可知T=2·2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a对称、所以fa+x=fa-x 令x=x+a得：fx+2a=f-x 又fx= - f-x故fx= - fx+2a 代换x=x+2a得： fx+2a= - fx+4a即得fx=fx+4a于是函数fx的周期为4a ⑥fx=fx+a+fx-a 有三层函数,用递推的方法来证明; fx+a=fx+2a+fx

fx+2a=-fx-a 换元：令x-a=t 那么x=a+t ft+3a=-ft 根据①可知T=6a ⑦fx关于直线x=a,直线x=b对称,T=2|a-b|

证明：fa+x=fa-x

fb+x=fb-x f2b-x=fx

假设a＞b 当然假设a＜b也可以同理证明出 T=2a-b

现在只需证明fx+2a-2b=fx即可

fx+2a-2b =fa+x+a-2b

关于直线x=a对称

=fa-x+a-2b 关于直线 x=b 对称 =f2b-x =fx

⑧fx的图像关于a,0 b,0对称,T=2a-2ba＞b 证明：根据奇函数对称中心可知：fa+x=-fa-x

fb+x=-fb-x f2b-x=-fx fx+2a-2b =fa+x+a-2b =-fa-x+a-2b =-f2b-x =fx

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