函数周期性总结

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函数周期性总结

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数时，都有f(xT)f(x),．．．．T，使得当x取定义域内的每一个值．．．．那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2)对周期函数来说f(xT)f(x)必须对定义域内的任意x都成立。

问题1 ①若常数T（≠0）为f （x）周期，问nT( n∈ N）为f (x)周期吗？为什么? ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin(ωx+φ）（w〉0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ)（w〉0）最小正周期为T=

2π





2π







y=tan（ωx+φ）（w〉0)最小正周期为T=

π



y=｜sin（ωx+φ）|(w>0）最小正周期为T=

π





f(x)=C（C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论:有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(xT)f(x) yf(x)的周期为T 2、f(xa)f(bx) (ab) yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x) yf(x)的周期为T2a

4、f(xa)

c

(C为常数） yf(x)的周期为T2a f(x)1f(x)1f(x)

5 f(xa)



yf(x)的周期为T2a

7、 f(xa)

1

yf(x)的周期为T4a

f(x)1

8、f(xa)

1f(x)1f(x)



yf(x)的周期为T4a

9、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a


函数周期性总结

10、f(xn2)f(xn)f(xn1)；（它是周期函数,一个周期为6)

11、yf(x)有两条对称轴xa和xb（ab) yf(x) 周期T2(ba) 12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) yf(x) 周期T2(ba) 13、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)yf(x) 周期T4(ba) 14、奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T4a。 15、偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T2a。

练习：①f(x+a）=－f（x） ②f（x+a）=

11

③f（x+a)=－ f(x)f(x)

④f（x+a）=

f(x)1

⑤f（x+a）=f（x—a) T= ⑥ f（x）= f(x-a） -f（x—2a) T=6a

f(x)1

十一 对称性加奇偶性得到周期

f（x)为偶函数f（a+x)=f（a—x）或f（x）=f（2a—x）则T=2a f(x)为奇函数f（a+x）=f（a—x)或f(x)=f(2a—x)则T=4a

eg:练1：（07天津7）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,

则f(x)（ )

A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]D。在区间[2,1]

上是减函数，在区间[3,4]上是减函数,在区间[3,4]

上是增函数 上是增函数

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