二维光子晶体带隙特性研究

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二维光子晶体带隙特性研究

摘要：本文采用平面波展开法分析了二维光子晶体的光学特性，并通过数值模拟研究了光子晶体的带隙、传输特性及影响其带隙结构的因素。通过改变光子晶体的结构参数，可以改变它的带隙结构和传输特性。



关键词：光子晶体；光子禁带；平面波展开法

1 引言

光子晶体（Photonic crystal）是由Yablonovitch和S.John在1987年提出来的，它是一种折射率呈周期性变化的介质结构，具有一定的光子禁带(Photonic band gap)。光子晶体的出现为光子技术的发展带来了新的活力，光子禁带（亦称光子带隙）是光子晶体的基本特征，其频率范围内的光子，在光子晶体的某些方向上是绝对不能传播的。它的存在依赖于光子晶体的结构和介电常数的配比。这种特殊“禁带”结构使得光子晶体可以用来制作各种光学器件，其在光电子器件以及光通信领域将具有广阔的应用前景。



光子晶体光波导分为一维、二维和三维结构，在应用上最具潜力的是可见光和红外波段的完全带隙的三维光子晶体，但其制作工艺非常复杂。而二维光子晶体的制作比较简单，实际的应用价值也很大，正日益成为各国研究的热点。



本文利用平面波展开法（PWM）对二维光子晶体光波导的特性进行了理论分析，并对其带隙结构及传输特性进行了数值研究。通过改变光子晶体的结构参数以及几何形状等方法能够改变其能带结构，这使得光子晶体的应用价值极具吸引力。



2 理论分析

研究光子晶体带隙结构及传输特性的方法主要有有限差分时域法（finite difference time domain：FDTD）、传输矩阵法（transfer matrix method：TMM）、平面波展开法(plane wave expansion method：PWM)。其中PWM提出最早，是将电磁场以平面波的形式展开，麦克斯韦方程组成为一个本征方程，求解其本征值就可以得到传播光子的本征频率。



假定所研究的光子晶体是无损、无源、非磁性的线性时不变系统，则可以得到麦克斯韦方程组的表达式



式中E和H分别为电场、磁场强度矢量，D为电位移矢量，为介电常数，ω为光波的角频率，c为真空中的光速，由(1)可得根据布洛赫定理，电磁场矢量用第一布里渊区的波矢量k和能级序号n来表示[1]：



其中， 是周期性矢量函数。平面波展开法是将场矢量进行傅里叶展开[2]，




得



其中，K=k+G，G是倒格矢量。将(5)代入(2)得到

通过上式，得到k－w的关系，从而可以计算光子晶体的带隙结构。

3 光子带隙分析

二维光子晶体是指在二维空间各个方向上具有光子频率禁带的材料，其典型结构是由许多介质棒均匀地平行排列而成。这种结构在横向（垂直于介质棒）上介电常数是空间位置的周期性函数，而在纵向（平行于介质棒）上介电常数不随空间位置的改变而变化。其横截面有很多种结构，不同的形状获得的光子频率禁带宽窄不同。矩形横截面的光子频率禁带的范围较窄，三角形和六边形结构的光子禁带的范围较宽。为了获得更宽的光子频率禁带范围，可以采用同种材料但直径不同的两种介质棒来构造二维光子晶体。



3.1 横截面形状对光子带隙结构的影响

图1所示为二维光子带隙结构图，该晶体由介质圆柱周期性排列而形成。从其带隙结构可以看出，TE波存在频率为0.3～0.48(a/λ)的光子禁带（a为重复结构周期），在此范围内没用任何的TE波传播；TM波的禁带频率为0.86～0.95(a/λ)。



采用截面是正六边形的介质棒构造一个同样结构的二维光子晶体，其带隙结构如图2所示。



与圆柱截面构成的光子晶体相比，TE波多了一条频率为0.6～0.65(a/λ)的光子禁带。其光子禁带的范围明显加宽。



可见，通过变化介质棒横截面的形状就控制二维光子晶体带隙结构，这一特点为光子晶体器件的设计带来巨大的发展空间。



3.2 介质折射率差对光子带隙结构的影响

改变晶体传输介质折射率差也可以改变其带隙结构。图3为介质圆柱在空气中排列而成的二维光子晶体的带隙结构图，其折射率差为1.98(介质圆柱与空气折射率的差值)。



从其带隙结构图中可以发现，TE波存在一条频率为0.32～0.45(a/λ)的光子禁带，宽度大约是0.13(a/λ)。改变晶体的折射率差为2.742，其带隙结构如图4所示。

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