关于效用函数最值的解法

2023-04-18 07:08:19 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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关于效用函数最值的解法

【09年真题】假定某居民具有期望效用函数，其效用函数为U(w)=㏑W，他有机会参与掷投硬币，头面朝上的概论为π。如果他下注X元，若头面朝上，他会拥有W+X；反之，若背面朝上，他则拥有W-X。

（1）请解出居民作为π的函数的最优赌注X的量。

（2）当π=0.5时，什么是他的关于X的最优选择？为什么会有这个结果？

说明：这道题结合了不确定条件下的选择和效用函数两章的知识点重点还是在考查效用函数最值问题的解法

应属于高级微观的知识（有点偏，有点超纲了）

在厦大研究生阶段高级微观教程中，还会更加深入的学习这道题也是以前厦大经院研究生高级微观期末考的考题

但各位同学以现在所掌握的微观和微积分数学知识，还是可以解得出来的

第一步：列出效用函数的表达式

U（w）=π㏑(W+X)+(1-π) ㏑(W-X)

第二步：效用最大化函数为MAX U(W)=MAX [π㏑(W+X)+(1-π) ㏑(W-X)]

第三步：通过数学方法求实现最大化效用的X值（不是W值）

此步骤需注意，到底题目哪些变量是已知的，哪个变量是要求出的。如果搞混了，则答案完全错了！！！！此题目中π和W都是已知的定值，只有X是未知变量。

利用一阶导：（相当于微积分中的求极值点，经济学中的极值点肯定也会是效用函数的最大值点，所以无需详细讨论）

U’ (W)= π/（W+X）+（π-1）/（W-X）=0

得出使得效用U实现最大化的X值：X=（2π-1）W

当π=0.5时，X=0，即下注0元时，效用是最优的。所以赌与不赌效用一样。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 如果变量是双变量的，解法也类似。利用微积分知识和效用函数基本知识

【教材第3章课后第10题】（略有改动）

通过消费食物F和衣服C，某人获得效用函数由U=FC表示。

假设食物1单位要花1美元，衣服1单位要花3美元。某人有12美元可用于食物和衣服。哪种食物和衣服是效用最大化的选择？

第一步：列出效用函数的表达式效用函数U=FC

约束条件：F+3C=12

注意：此时有F和C之间的关系式来约束（即预算约束线），且F和C 都是未知的，通过变量F和C来实现最大化的效用。

第二步：欲求最大化U，即MAX U，

第三步：通过数学方法求实现最大化效用的F和C值

本题的未知量是F和C ，所以是双变量的求效用最大化的题利用拉格朗日乘数法： L=FC-λ（F+3C-12）=0

最优解F、C满足一阶条件： C-λ=0 F-3λ=0 F+3C-12=0

联立方程解得：C=2；F=6

即当C=2，F=6时，可实现最大化效用U=12