2013华约自主招生

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2013年“华约”自主招生试题

本试卷满分100分，考试用时90分钟

1．（本小题满分10分）

设Ax|x10,xN,BA，且B中元素满足：①任意一个元素的各位数的数字互不相同；

②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.

(1)求B中的两位数和三位数的个数； (2)B中是否存在五位数？六位数呢？

(3)若从小到大排列B中元素，求第1081个元素. 2．（本小题满分15分） 

已知sinxsiny1

3,求cosxy,sinxy.



cosxcosy15,

3．（本小题满分15分）

点A在ykx上，点B在ykx上，其中k0，

|OA||OB|k21，且A,B在y轴同侧.

(1)求AB中点M的轨迹C；

(2)曲线C与抛物线x22pyp0相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程.



4. （本小题满分15分）

7个红球，8个黑球，一次取出4个. (1)求恰有一个红球的概率；

(2)取出黑球的个数为X，求X的分布列和EX； (3)取出4个球同色，求权威黑色的概率.


5．（本小题满分15分）

数列an的各项为整数，且对任意nN，满足

2an1ancan(c0为常数).

(1)求证：对任意正数M，存在NN，当nN时，有anM；

7．（本小题满分15分）

*



已知f(x)(1x)ex1. (1)求证：当x0时，f(x)0； (2)数列xn满足xne

(2)设bn

1

,S是bn的前n项和，求证：

1cann1

|d. ca1



xn1

exn1,x11，求证：



对任意d，存在NN，当nN时，有

数列xn递减且xn



1. 2n

0|Sn

6．（本小题满分15分）

已知x,y,z是互不相等的正整数，

xyz|(xy1)(yz1)(zx1)，求x,y,z.

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