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分式知识点归纳
一、分式的定义:
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子二、与分式有关的条件
①分式有意义:分母不为0(B0) ②分式无意义:分母为0(B0) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(
A
叫做分式,A为分子,B为分母。 B
A0
)
B0
A0A0
或) B0B0A0A0
或)
B0B0
④分式值为正或大于0:分子分母同号(
⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(
⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B)
⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)
三、分式的基本性质
(1)分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。 字母表示:
AA•CAAC
,,其中A、B、C是整式,C0。
BB•CBBC
(2)分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变, 即:
AAAA
BBBB
注意:在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1.定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。 2.步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
3.两种情形:①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约
去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。 4.最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法:
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1.定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。 (依据:分式的基本性质!)
2.最简公分母:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时,最简公分母的确定方法:
1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
3.“两大类三类型”
通分“两大类”指的是:一是分母是单项式;二是分母是多项式 “两大类”下的“三类型” :“二、三”型,“二,四”型,“四、六”型 1)“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是他们的乘积; 2)“二,四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母; 3)“四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母既要有独特的因式,
也应包括相同的因式
4.通分的方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是分母单项式,那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果分母是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。 六、分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则:
aca•c
•
bdb•d
acada•d
分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为:•
bdbcb•c
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为:
ana
② 分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子表示为:n
bb
③ 分式的加减法则:
1)同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为:
n
abab
ccc
acadbc
bdbd
2)异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为:
3)两种类型:一是分式间的加减;二是整式与分式的加减(整式的分母为1)
注意:整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对
有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。 七、整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指
数幂一样适用。即:
amanamn am
n
n
amn abanbn amanamn (a0)
n
1ana0n
n ana0) a1(a0) (任何不等于零的数的零次幂都等于1)
abb
其中m,n均为整数。
八、分式方程
1.分式方程:指含分式,且分母中含有未知数的方程 2.解分式方程的步骤: (1)能化简的先化简
(2)去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程) (3)解整式方程,得到整式方程的解。
(4)检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
注意:产生增根的条件是①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤:审,设,列,解,答(跟一元一次不等式组的应用题解法一样) ① 审—仔细审题,找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程(组)。 ④ 解—解出方程(组)。注意检验 ⑤ 答—答题。
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