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例说平方差公式、完全平方公式的结构特征
师:同学们,我们已经学习了如下两个乘法公式: 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
你能说出它们的结构特征吗?
快嘴朱春明没举手就迅速站起来说:“平方差公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差,右边是这两个数的平方差。”
小百灵陈海田也不甘示弱,道:“完全平方公式的结构特征是左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍。”
小眼镜于政慢条斯理地接着说:“左边都是二项式乘以二项式,右边只是一个多项式。” 细心的许洪秀象发现新大陆一样,激动地说:“这两个公式,从左向右看,属于整式的乘法运算,从右向左看,属于因式分解。” 平时在符号上常出错的牛川同学说:“平方差公式中的两个平方项是异号,一正一负;而完全平方公式中的两个平方项是同号,都为正,乘积项的符号取决于原来两个数a、±b的符号,同号得正,异号得负。”
师:同学们的发现都是对的。你有胆量运用乘法公式解决下列问题吗?
例1、计算:(1) (2m-3n)( 2m+3n); (2) (-3+2a)(―3―2a); (3) (-5+2x)(-2x-5).
韩金轩同学分析道:“这三小题都可以用平方差公式进行计算,关键是要正确确定公式中的两个数分别是什么,它们分别是2m与3n、-3与2a、-5与2x,结果等于它们的平方差。”于是,解题过程如下: 解:(1)原式=(2m)2-(3n)2=4m2-9n2; (2)原式=(-3)2-(2a)2=9-4a2; (3)原式=(-5)2-(2x)2=25-4x2. 例2、计算:(1) (-
34
m+
43
n)2; (2) (-2a2-7b)2.
不太善于表达的陈博同学在较短时间内,把自己的解法呈现给大家: 解:(1)方法一:原式=(-
=
91643
34
m)2+2×(-
169
34
m)×
43
n+(
43
n)2
m2-2mn+n-
43
34
n2
34
方法二:原式=(
m)2 (把-
43916
m、
43
34
n互换位置) m)2
=(=
169
n)2-2×
n×
34
m+(
n2-2mn+
2
2
m2
2
2
(2)方法一:原式=(-2a)-2×(-2a)×7b+(7b)
1
=4a4+28 a2b+49 b2
方法二:原式=[-(2a2+7b)]2=(2a2+7b)2
=(2a2)2+2×2a2×7b+(7b)2 =4a4+28 a2b+49 b2
例3、计算:(a+b-c)(a-b+c).
善于变通的任加林同学,沉默了一会儿,说:“这是三项式乘以三项式,第一项相同(都是a),第二、三项+b-c、-b+c互为相反数,根据整体思想,可以写成+(b-c)、-(b-c),这样就符合平方差公式。”于是,解题过程如下: 解:原式=[a+(b-c)][a-(b-c)]
=a2 -(b-c)2 =a2-(b2-2bc+c2) =a2-b2+2bc-c2
例4、你能用乘法公式计算(a+9)(a+1)吗?
爱动脑筋的祁金龙同学,一会儿皱着眉头,一会儿动手疾书,终于想出了办法:“根据平方差公式,因为(a+b)+(a-b)=2a、(a+b)-(a-b)=2b,所以(a+9)+(a+1)=2a+10=2(a+5)、(a+9)-(a+1)=8=2×4,于是(a+9)(a+1)转化为[(a+5)+4][(a+5)-4],利用平方差公式进行计算。”于是,解法如下: 解:原式=[(a+5)+4][(a+5)-4]=(a+5)2-42=a2+10a+25-16=a2+10a+9. 例5、因式分解:(1)1-16a2 ;(2)49(a-b)2-16(a+b)2.
解云云同学说:“这两小题都是平方差的形式,即1-(4a)、[7(a-b)](a+b)],所以都可以用平方差公式进行分解因式。” 解:(1)原式=12-(4a)2=(1+4a)(1-4a); (2)原式=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2
=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)] =(11a-3b)(3a-11b)
例6、因式分解:(1)x2+x+解:(1)原式=x2+2×x×
1214
2
2
2
2
-[4
;(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2.
12
+(
2
)2=(x+
2
12
)2;
(2)原式=[a-(b+c)]=(a-b+c).
2
评析:本题都是三项式,要验证是否符合完全平方公式,即确定平方项与乘积项,看两个平方项是否同号,乘积项是否是两个平方项底数乘积的2倍。 例7、因式分解:x4 y4-8x2 y2+16. 解:原式=(x2y2)2-2×x2y2×4+42
=(x2y2-4)2 =[(xy+2)(xy-2)]2 =(xy+2)2(xy-2)2
注意:因式分解一定要分解到不能再分解为止。
师:同学们的表现很优秀,老师为有你们这样的学生而感到自豪!下面我们一起来走进09中考试题,感悟一下中考的氛围吧。
1、把x3-2x2y+xy2分解因式,结果正确的是( )(2009年北京市中考题) A. x(x+y)(x-y) B. x(x2-2xy+xy2) C. x(x+y)2 D. x(x-y)2 2、在实数范围内因式分解x4-4= (2009年杭州市中考题) 3、因式分解:(x+y)2-3(x+y)= (2009年嘉兴市中考题) 4、分解因式:2x3-8x= (2009年广东省中考题) 5、分解因式:27x2+18x+3= (2009年潍坊市中考题)
6、分解因式:ax2-a= (2009年济宁市中考题) 7、因式分解:a2-b2-2b-1= (2009年安徽省中考题) 8、 先化简,再求值:
(1)(3+m)(3-m)+m(m-6)-7,其中m=
12
.(2009年温州市中考题);
13
(2)(a+b)(a-b)+(a+b)2-2 a2,其中a=3,b=-
.(2009年长沙市中考题)
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