求余数找规律

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求余数找规律

陈开金



我们知道，任给一个整数A，将自然数1，2，3，4，…依次除以A，所得的余数总是循环重复出现，呈周期性变化。例如，连续自然数1，2，3，4，5，6，…，依次除以3，所得的余数分别为1，2，0，1，2，0，…每隔3个循环一次。

连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以4，所得的余数分别为1，2，3，0，1，2，3，0，…每隔4个就重复出现一次。

连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以5，所得的余数分别为1，2，3，4，0，1，2，3，4，0，…每隔5个就重复出现一次。

巧妙借用这个模型，常常能快速解决问题。现以2005年中考试题为例说明。

例1. 把编号为1，2，3，4，…的若干盆花按图1所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为__________色。



图1

解析：由于编号为1，2，3，4，…的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，每隔4盆就重复出现一次，因此，将花盆的序号除以4，余数为1的就与第1盆花同色，为红色；余数为2的就与第2盆花同色，为黄色；余数为3的就与第3盆花同色，为蓝色；余数为0的则与第4盆花同色，为紫色。

从第1盆到第8行自左边数第6盆，序号为(1234567)634。由于34除以4的余数为2，因此应该为黄色。



例2. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。此时M是线段PQ的中点。

如图2所示，在直角坐标系中，△ABO的顶点分别为A（1，0），B（0，1）O（0，0）。


点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…这些对称中心依次循环。已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标。



图2

解析：根据对称中心是对应点连线的中点，很容易写出P2和P1的坐标分别为（1，-1）和（1，1），客观上很难一直写到P100，需要认真观察前面若干个点的坐标，发现规律，再根据这个规律写出P100的坐标。有关点、对称中心和对称点的情况，列表如下：



分析上表可发现，点列的坐标系隔6个循环一次。用6去除点的序号，由于1006的余数为4，因此P100的坐标与P4(1,3)相同，故为P100(1，3)。



例3. 如图3所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…与圆周上1，2，0，1，…分别重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。

（1）若圆周上的数字a与数轴上的数1000对应，则a=___________。

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后落在圆周上数字1的位置，这个整数是_________（用含n的代数式表示）。

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