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【泊松分布参数的含义】
摘要：泊松分布是一种常见概率分布，但是很少有人探讨它的参数的含义，本文以常见电话问题为背景，对泊松分布进行推导并得出结论。 关键词：（0-1）分布；均匀分布；二项分布；泊松分布
中图分类号O211.1文献标示码C 一、引入
Poisson从二项分布的极限得到了这个日后以他为名的概率分布。但是泊松分布参数的含义，却不确定。本文以常见电话问题为背景，对泊松分布进行推导并得出结论。
二、泊松分布的推导
将所有的人进行编号，设第k（k=1，2，……）个人在1小时内，至多给我打一次电话，令
Xk=1， 打电话；0，未打电话。（k=1，2，……）
设第k个人在1小时内打电话概率为Pk，则Xk分布律为：?摇?摇?摇 P｛Xk=i｝=pki（1-pk）1-i，i=0，1.
则1小时内，没接到电话概率为?摇?摇?摇?摇 1-p=■（1-pk） （1）
令 X=1， 接到电话；0，未接到电话。
得X，Xk（k=1，2，……）服从（0-1）分布。
设每个人在1小时内，任何时间打电话是等可能的，设Y为1小时内的时间值，则Y在区间（0，1）上服从均匀分布，即Y~U（0，1）。
设Z为1小时内我接到电话次数，考虑｛Z=k｝，即接到k次电话，我们把1小时等分成n段，其中n远远大于k，对这k次电话分两种情况，一种是每个时间段至多一次电话，另一种是至少有一个时间段有两次电话，这k次电话可以是任意k个人打的，不管是哪k个人，则落入n个时间段方式共有nk种。由Y在区间（0，1）上服从均匀分布，故每种方式等可能，每个时间段至多接到一次电话方式为Ank种，故
P｛Z=k｝=■Cnk（1-ppn）n-kppnk =■（1-ppn）n-kppnk （2）
其中ppn为在每个时间段至多接到一次电话条件下接到电话的概率，下面我们来确定它，令k=0，则由（1）式得 1-ppn=■
即 ppn=1-■ （3）
将（3）代入（2）式，得
■[1-（1-■）]n-k（1-■）k =■（1-p）■（■）k （4） 对（4）式两端令n→∞得 ■■（1-p）■（■）k =■■（1-p）■■（■）k =■（-ln（1-p））k
故 P｛Z=k｝=■（1-p）。 令?姿=-ln（1-p），则
P｛Z=k｝=■e-?姿，（k=0，1，……）。 得到泊松分布的分布律。
我们可以看出参数?姿=-ln（1-p），其中p是一小时内接到电话的概率。 参考文献：
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2005.
[2]同济大学数学教研室.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/6add56a7d3d233d4b14e852458fb770bf78a3b29.html
2023-04-28
