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α
幂函数的知识
幂函数:一般地.形如y=x(a为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为
012-1-10
幂函数。例如函数y=x、y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。
a
幂函数的一般形式是y=x,其中,a可为任何常数,但中学阶段仅研究a为有理数的情形(a为无理数时取其近似的有理数),这时可表示为y=x
m
(1)kn
,其中m,n,k∈N*,且m,n互质。特别,当n=1时为整数指数幂。
3
3/5
(1)当m,n都为奇数,k为偶数时,如y=x,y=x,y=x等,定义域、值域均为R,为奇函数; -1-33-3/5
(2)当m,n都为奇数,k为奇数时,如y=x=1/x,y=x=1/x,y=x等,定义域、值域均为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数; (3)当m为奇数,n为偶数,k为偶数时,如y=x非偶函数;
(4)当m为奇数,n为偶数,k为奇数时,如y=x
-1/21/2
=x,y=x
3/4
=4x3等,定义域、值域均为[0,+∞),为非奇
=
1x
,y=x
-3/4
=
4
1x
3
等,定义域、值域均为(0,+∞),为非
奇非偶函数;
22/3
(5)当m为偶数,n为奇数,k为偶数时,如y=x,y=x等,定义域为R、值域为[0,+∞),为偶函数;
-22-2/3
(6)当m为偶数,n为奇数,k为奇数时,如y=x=1/x,y=x 等,定义域为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)
[1]
∪(0,+∞),值域为(0,+∞),为偶函数。 性质
幂函数的图象一定在第一象限内,一定不在第四象限,至于是否在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
幂函数y=xa,x是可以小于0的,当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为负数,
则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数, 则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;2.如果同时a为奇数,则函数的定义域为所有非零实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:①在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。②在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域 正值性质
α
当a>0时,幂函数y=x有下列性质: a、图像都经过点(1,1)(0,0);
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;
c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0; 负值性质
α
当a<0时,幂函数y=x有下列性质: a、图像都通过点(1,1);
-2,
b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)
c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。 零值性质
当a=0时,幂函数y=x有下列性质:
a、y=x的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。 讨论分析
由于x大于0是对α的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到: (1)所有的图像都通过(1,1)这点.(α≠0) α>0时 图象过点(
0
a
特殊性(2):幂函数的单调区间(0,0)和(1,1) (2)单调区间:
当a为整数时,a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性: ①当a为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;
②当a为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增; ③当a为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能
幂函数的单调区间(当a为分数时)
说在定义域R内单调递减);
④当a为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。 当a为分数时,a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性: ①当a>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;
②当a>0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递增; ③当a<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;
④当a<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减); (3)当a>1时,幂函数图形下凹(竖抛); 当0时,幂函数图形上凸(横抛)。 当a<0时,图像为双曲线。
(4)在(0,1)上,幂函数中a越大,函数图像越靠近x轴;在(1,﹢∞)上幂函数中a越大,函数图像越远离x轴。
(5)当a<0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (6)显然幂函数无界限。
[2]
(7)a=2n(n为整数),该函数为偶函数 {x|x≠0}。 特性
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:首先我们知道如果a=p/q ,且p/q 为既约分数(即p,q互质),q和p都是整数,则x
p/q
=xp,如果q是奇数,函数的定义域是R;如果q
k
q
是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数α是负整数时,设α=-k,则y=1/x,显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
a小于0时,x不等于0; a的分母为偶数时,x不小于0; a的分母为奇数时,x取R。
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