布朗运动(论文)

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布朗运动,论文


浅谈布朗运动

冯涛

青海民族学院 电子工程信息科学 810007



要:布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时

又是最重要的随机过程。

关键词: 布朗运动、马尔科夫随机函数;性质及推导;应用

On the Brownian motion

AbstractBrownian motion as a continuous time parameter and the continuous state space of a random process, is a most basic, simple at the same time is the most important stochastic process.

KeywordsBrownian motion, Markov random function; the nature and derivation; Application



一、关于布朗运动的性质及推导。

标准布朗运动的定义是一个随机函数X(t)(tT)它是维纳随机函数。它有如下的一些重要性质。 1、它是高斯随机函数。

2、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是:

1/2(yx)22f(ts,yx)PX(t)yX(s)x 2(ts)exp2y2(ts)

可以看出它对空间和时间都是均匀的。

3、如X(t)(t0)是标准布朗运动,则下列各个随机函数也是标准布朗运动

21X1(t)cX(t/c) c0为常数,t0

2X2(t)X(th)X(h) h0为常数,t0

tX(t1)3X3(t)

0

(t0)



(t0)

2

4、标准布朗运动的协方差函数C(s,t)min(s,t) 证明如下。已知C(s,t)X(s)X(t)X(s)

X(t),当st时,

X(s)X(s)X(0)0,故右方第二项为零。右方第一项

X(s)X(t)X(s)[X(t)X(s)X(s)]X(s)X(t)X(s)X2(s)

其中由于相互独立,故




X(s)[X(t)X(s)][X(s)X(0)][X(t)X(s)]X(s)X(t)X(s)

按定义知此项为零。于是由维纳过程的性质知:C(s,t)X2(s)[X(s)X(0)]22s 如果ts,必有C(s,t)t。故最后得:C(s,t)min(s,t) 5、标准布朗运动非均方可微。

由于布朗运动X(t)是维纳随机函数,而后者按照定义应有[W(ts)W(t)]22h。因而令

2

2

X(th)X(t)X(t)W(t)后,必有:

h

2



2

h



lim

h0

X(th)X(t)



h

2



如果布朗运动是可微的,则按均方可微的意义应有:

2

lim

h0

X(th)X(t)X(t)

h

2



它表明:

lim

h0

X(th)X(t)



h

(X(t))2

在上面的计算过程中应用了维纳随机函数的第(2)性质。这和前一式相矛盾。故布朗运动不是均方可微的。

关于布朗运动作为物理学中的动力学过程,有重要意义的是朗之万方程。设布朗粒子的质量为m它在水平面x方向所受到的力分为两个部分。一是与速度成正比的液体阻尼力V,一是液体分子对粒子碰撞引起的随机力F(t)于是按照牛顿的质点力学定律,布朗粒子在水平面x方向的运动方程为:

m

dV

VF(t) dt

dV

VA(t) dt

此方程成为朗之万方程。一般而言方程应该是三维的,为简单起见只讨论一维的情形。为简化记号可令/mA(t)F(t)/m。于是,上式成为单位质量的算式。即:

此方程强烈的依赖于A(t)的性质。对A(t)有下列几个经过实验检验的假设:①A(t)V无关;②

A(t)0;③A(t)A(s)(ts)。这最后一个条件反映了V(t)的马尔科夫性质。因为V对时间

的一阶微分方程的解完全决定于tt0时的初始条件。如果方程中的随机加速度A(t)(也就是作用于单位质量的随机力)具有所设定的函数相关,tt0时的随机加速度就不能改变tt0时的运动如果

A(t)的相关函数有一段时间的延续,例如A(t)A(s)e

t0

ts/

。即使给定了t0时刻的速度V(t0)



2

区间内的随机加速度A(t)还会影响到t0tt0/2区间内的运动这样,tt0tt0


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