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动静转换在数学解题中的应用
作者：吴仲奇
来源：《发明与创新(学生版)》2006年第07期
动与静是事物状态表现的两个侧面，在数学解题中，以动求静，利用特殊图形去求解，不仅能起到事半功倍的效果，而且能使我们感觉到其中的趣味和奥妙。 举例如下：
例1、如图一，两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行且与小圆相切，那么图中阴影部分的面积等于______。
分析：本题条件较少，按常规解法很繁，怎样才能迅速解题呢?若将小半圆沿CD平行移动到特殊位置，使其与大半圆同心，如图二，求之较易。
此题常规证法为：将线段OP向两方延长交⊙O于C、D 两点，根据相交弦定理，有：PA·PB：PC．PD=(R-PO)(R+PO) =R2-PO2(其中R为圆O半径)即PA，PB+PO2=R2(为定值) 本题若联想到P点为AB上任意一点，就可使P点运动 到AB的中点这一特殊位置(如图四)，证明定理便轻而易举， 连OA则有OA2-PO2=PA2=PA·PB即PA·PB+P02=OA2=R2 例3、如图五，已知P为正方形ABCD内一点且PA：PB： PC=1：2：3，求证：∠APB为定值。
分析：已知PA：PB：PC=1：2：3不妨设PA=X；PB=2X，PC=3X，而这些条件较分散，直接通过计算求解十分复杂，若能考虑到利用正方形的特点，设法把PA、PB、PC相对集中起来，为此把△CPB顺时针旋转90°到△ABE的位置，再连PE，于
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2022-03-22
