余弦定理

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1.1.2 余弦定理

『典型题剖析』

考察点1： 利用余弦定理解三角形 例1：

已知△ABC中，b3,c33,B30,求A，C和a。

【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角。

【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。

例2：△ABC中，已知a26,b623,c43，求A，B，C

考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状 例3：

在△ABC中，已知abcabc3ab,且2cosAsinBsinC，试判断△ABC的形状。

【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。


例4：已知钝角三角形ABC的三边ak,bk2,ck4,求k的取值范围。

【点拨】由题意知△ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c的大小关系，故必有C角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k的取值范围。

【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。 考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题

例6在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。

a2b2sinAB; （1）求证

c2sinC

（2）求证

accosBsinB



bccosAsinA

【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用

考察点4：正余弦定理的综合应用 例7：在ABC中，已知b



31a,C30,求A,B.



【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。

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