概率论第1章总结

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概率论,总结
第一章 随机事件及其概率

一、基本概念

1.样本点:随机试验的每个基本结果(可能的结果)

2.样本空间(Sample Space):样本点的全体,记为:S 3.随机事件:样本空间的子集.

4.事件是样本空间的子集,是一个集合,因此事件间的关系与运算可用集合间的关系与运算处理.

注意:(1)在概率论中的含义;

(2) 事件的表示方法不唯一,用不同的方法(集合间的运算)表示同一事件. 二、必需记住的几种表述:

1AB/AB “事件A,B至少有一个发生” “最多有一个不发生”

对立事件:A,B之中没有一个发生”来解决.

2AB “事件A与事件B同时发生 或“事件A发生且事件B发生” 3AB “事件A,B不能同时发生”

4AB,ABS “事件A,B对立” “事件A,B互不相容、且二者之中必有一个发生” 5AB (AB) “事件A发生且事件B不发生”

6B|A “在事件A发生的条件下,事件B发生” “若(已知)事件A发生,事件B发生”

Note: 从样本空间来讲,pAB是以S为样本空间,而pB|A是以A为样本空间; 7互斥事件:事件A,B不能同时发生,AB 8对立事件:AB,且ABS

9独立事件A的发生不会影响B的发生,有时需根据实际意义来定; 三、必需记住的几个公式: 1、集合运算律:

ABBA ABBA P(S)1 P()0

并的交=交的并,并的补=补的交, 补的交=并的补; 2、古典概型概率公式 P(A)

NA

NS

1)古典概型的判别:是否为等可能的; 样本空间是否为有限的;

2)古典概型的计算:计算完成事件A的方法数NA,计算完成样本空间S的方法数NS,避免重复计数,P(A)

NA

NS


Note单步完成,用加法; 多步完成,用乘法;

组合:Cnk

3、概率性质公式

1)当事件A,B为任意两事件:P(AB)P(A)P(B)-P(AB)P(AB)P(A)-P(AB) 2)当事件A,B相互独立时:P(AB)P(A)P(B);若A1,A2,,An相互独立,则

n!

排列:PnkCnkk!

k!(nk)!

P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)P(Ak)1(1P(Ak))

k1

k1

nn

3)当事件A,B互斥时:P(AB)0 4、条件概率P(B|A)

P(AB)

P(A)

其中事件A,B有“先后、主次、包含”等关系; 计算方法:一是按定义;二是在缩小样本空间中计算. 5、乘法公式 P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A) 推广:P(ABC)P(C|AB)P(B|A)P(A) 6、全概率和贝叶斯公式:(右图概率树) 1)其中A1,A为样本空间S的一个划分,即:

2

P(A1)P(A2)1

2)事件B1,B2,B3分别以事件A1,A为样本空间,若B1,B2,B3

2

是事件A1,A2的一个划分,则有:

P(B1|A1)P(B2|A1)P(B3|A1)1 P(B1|A2)P(B2|A2)P(B3|A2)1

全概率公式(先验概率)P(B)

P(A)P(B|A),

i

i

i1

n

P(Ai)0(i1,2,,n) 由因Ai求果B

贝叶斯公式(后验概率)P(Ai|B)

P(B|Ai)P(Ai)

P(A)P(B|A)

j

j

j1

n

,i1,2,,n 由果索因(逆概率问题)

7、伯努利概型:事件A每次发生概率为pn次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率:

kknk

Pn(k)Cnp(1p)

k0,1,...,n


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