概率论第1章总结

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第一章 随机事件及其概率

一、基本概念

1.样本点：随机试验的每个基本结果（可能的结果）。

2.样本空间(Sample Space):样本点的全体，记为：S或。 3.随机事件：样本空间的子集.

4.事件是样本空间的子集，是一个集合,因此事件间的关系与运算可用集合间的关系与运算处理.

注意：(1)在概率论中的含义;

(2) 事件的表示方法不唯一,用不同的方法(集合间的运算)表示同一事件. 二、必需记住的几种表述:

1、AB/AB： “事件A,B中至少有一个发生” 或 “最多有一个不发生”

对立事件：“A,B之中没有一个发生”来解决.

2、AB： “事件A与事件B同时发生” 或“事件A发生且事件B发生” 3、AB： “事件A,B不能同时发生”

4、AB,ABS： “事件A,B对立” “事件A,B互不相容、且二者之中必有一个发生”， 5、AB (或AB)： “事件A发生且事件B不发生”

6、B|A： “在事件A发生的条件下，事件B发生” “若（已知）事件A发生，事件B发生”

Note: 从样本空间来讲，pAB是以S为样本空间，而pB|A是以A为样本空间； 7、互斥事件：事件A,B不能同时发生，AB； 8、对立事件：AB，且ABS；

9、独立事件：A的发生不会影响B的发生，有时需根据实际意义来定； 三、必需记住的几个公式： 1、集合运算律：

ABBA， ABBA， P(S)1， P()0，

并的交=交的并，并的补=补的交， 补的交=并的补； 2、古典概型概率公式： P(A)

NA

NS

（1）古典概型的判别：是否为等可能的； 样本空间是否为有限的；

（2）古典概型的计算：计算完成事件A的方法数NA，计算完成样本空间S的方法数NS，避免重复计数，P(A)

NA

． NS


Note：单步完成，用加法； 多步完成，用乘法；

组合：Cnk

3、概率性质公式：

（1）当事件A,B为任意两事件：P(AB)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)P(A)-P(AB)； （2）当事件A,B相互独立时：P(AB)P(A)P(B)；若A1,A2,,An相互独立，则

n!

排列：PnkCnkk!

k!(nk)!

P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)；P(Ak)1(1P(Ak))．

k1

k1

nn

（3）当事件A,B互斥时：P(AB)0； 4、条件概率：P(B|A)

P(AB)

， P(A)

其中事件A,B有“先后、主次、包含”等关系； 计算方法：一是按定义；二是在缩小样本空间中计算． 5、乘法公式： P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A) 推广：P(ABC)P(C|AB)P(B|A)P(A) 6、全概率和贝叶斯公式：(右图概率树) （1）其中A1,A为样本空间S的一个划分，即：

2

P(A1)P(A2)1；

（2）事件B1,B2,B3分别以事件A1,A为样本空间，若B1,B2,B3

2

是事件A1,A2的一个划分，则有：

P(B1|A1)P(B2|A1)P(B3|A1)1， P(B1|A2)P(B2|A2)P(B3|A2)1；

全概率公式(先验概率)：P(B)

P(A)P(B|A),

i

i

i1

n

P(Ai)0(i1,2,,n) 由因Ai求果B

贝叶斯公式(后验概率)：P(Ai|B)

P(B|Ai)P(Ai)

P(A)P(B|A)

j

j

j1

n

,i1,2,,n 由果索因（逆概率问题）；

7、伯努利概型：事件A每次发生概率为p，n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率：

kknk

Pn(k)Cnp(1p)

k0,1,...,n

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