六年级奥数题及答案：容斥原理问题(高等难度)

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六年级奥数题及答案：容斥原理问题（高等难度）

容斥原理问题：（高等难度）

在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是 容斥原理问题答案：

根据每个人至少答出三题中的一道题可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）2② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1③ 由（4）知：a1＝a2+a3④ 再由②得a23＝a2－a32⑤

再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a24+a3＝26

由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：

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当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据a23＝a2－a32⑤可知：a2a3

因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。

然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。

故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

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