中考数学复习指导：巧用矩形的对角线相等解题.doc

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巧用矩形的对角线相等解题

矩形的对角线相等是矩形的性质之一，巧妙地利用这个性质，可以使某些问题得到简单而 快捷的解决. 一、求最值

例 1 如图 1,在ZkABC 中，ZBAC=90° , AB = 3,AC=4,P 为边 BC ±一个动点,

PE丄AB于点E,PF丄AC于点F,连结EF,求线段EF长度的最小值.

分析与解 连结 AP. J PE1AB, PF丄AC, ・•・四边形AEPF是矩形,



・・・ ZBAC= ZAEP= ZAFP=90° ,

・•・EF=AP.当AP与BC垂直时，AP最小.

RtAABC 中,BC2=AB2 + AC2=32+42=25, :. BC=5. A SAABC= - AB • AC = -BC AP,

即卜3X4十5 W §

12 1? —,即EF的最小值为

二.

5

2 2



二、证明线段相等

例2如图2,在正方形ABCD中，E是对角线AC ±的一点，EF丄CD于点F, EG丄AD 于点G求证：BE=FG・ 分析与解连结ED.

图1

・・• EG 丄 AD,EF 丄 CD,.・.ZEGD= ZEFD= ZADC=90° ,.・.四边形 GEFD 是矩形， ・・・ G.F=DE,四边形 ABCD 是正方形，.I BC=CD, ZBCA= ZDCA=45° .在ABCE 和 BC = CD,

ADCE 中,\ZBCE = ZDCE, .I ABCE ^ADCE, .I BE=ED, .I BE=GF.

EC = EC,

三、证明定值




例3如图3,扇形OAB的半径OA = 3,圆心角ZAOB=90°，点C是弧AB上异于A、B 的动点，过点C作CD丄OA于点D,作CE丄OB于点E,连结DE,点G, H在线段DE ± 且.DG=GH 二 EH.

(1) 求证：四边形OGCH是平行四边形；

(2) 当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG 'P是否存在长度不变的线段？若存在， 请

出该线段的长度.

分析与解(1)连结OC交ED于点F.

J CE丄OA 于点 E,CD丄OB 于点 D, .I ZCEO= ZCDO= ZAOB =90° ,

・・・四边形EODC是矩形，・・・OC = DE,且OF=FC,EF=FD.又T EH = GD,

・・・EF・EF=FD ・GD,即FH=FG , A四边形OGCH是平行四边形 (2) J DG 的长度不变，・•・ DE=OC = 3.又T EH = HG=GD, J DG 冷 ％ 十 3 = 1

A E

0



图4

四、证明定理

例4已知在RfABC中，'AB29。。，点。是AC的中点，求证:OB=”C. 证明 如图4,延长BO到D,使OD=OB,连结AD、CD.

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