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最值系列之——将军饮马
一、什么是将军饮马?
【问题引入】
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?
B军营
将军A
河
【问题简化】
如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小?
B
A
P
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A’,连接PA’,则PA’=PA,所以PA+PB=PA’+PB
B
A
PA'
当A’、P、B三点共线的时候,PA’+PB=A’B,此时为最小值(两点之间线段最短)
B
A端点
P折点A'
【思路概述】
作端点(点A或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称,化折线段为直线段.
二、将军饮马模型系列
【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.
A
P'
M
A
P
B
O
M
P
B
P''
O
N
N
此处M、N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN周长最小.
【例题】如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为___________.
B
N
PM
A
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’,化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M.
O
P'N
BP
O
M
P''
A
当P’、N、M、P’’共线时,得△PMN周长的最小值,即线段P’P’’长,连接OP’、OP’’,可得△OP’P’’为等边三角形,所以P’P’’=OP’=OP=8.
P'B
N
P
O
M
AP''
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