高中数学教学设计

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高中数学教课方案

高中数学教课方案——函数的奇偶性

函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数观点的深入．它把自变量取相反



数时函数值间的关系定量地联系在一同， 反应在图像上为： 偶函数的图像对于ｙ



轴对称，奇函数的图像对于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对



函数的奇偶性进行了定量和定性的剖析． 教材第一经过对详细函数的图像及函数



值对应表归纳和抽象， 归纳出了函数奇偶性的正确立义． 而后，为深入对观点的



理解，举出了奇函数、 偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的



实例．最后，为增强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单



调性的联系．这节课的要点是函数奇偶性的定义， 难点是依据定义判断函数的奇



偶性． 教课目的



1. 经过详细函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的议论，体验数学观点的成立过程，培育其抽象的归纳能力．



2. 理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特点，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．



3. 在经历观点形成的过程中，培育学生归纳、抽象归纳能力，体验数学既是抽象的又是详细的． 任务剖析



这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过拥有奇偶性的详细的函数：正 比率函数 y＝kx，反比率函数 ，（k≠0），二次函数 y＝ax，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的观点，以便于学生理解．在引入观点时一直联合详细函数的图像，以增添直观性，这样更切合学生的认知规律，同时为论述奇、偶函数



的几何特点埋下了伏笔． 对于观点可从代数特点与几何特点两个角度去剖析， 让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是对于原点对称的非空数集； 对于在有定义的奇函



非偶函数．对于单一性与奇偶性关系， 指引学生拓展延长，能够获得理想成效． 教课方案



一、问题情形

数 y＝f（ x），必定有 f （0）＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有 f（x） ＝ 0，x∈R．在此基础上，让学生认识：奇函数、偶函数的矛盾观点———非奇


1. 察看以下两图，思虑并议论以下问题： （ 1）这两个函数图像有什么共同特点？

（ 2）相应的两个函数值对应表是怎样表现这些特点的？ 能够看到两个函数的图像都对于 y 轴对称．从函数值对应表能够看到， 当自变量 x 取一对相反数时，相应的两个函数值同样．

对于函数 f （ x）＝ x，有 f （－ 3）＝ 9＝f （3）， f （－ 2）＝ 4＝f （2），f （－

1）＝ 1＝ f （ 1）．事实上，对于 R 内随意的一个 x，都有 f （－ x）＝（－x） 2＝

x2＝f （x）．此时，称函数 y＝ x2 为偶函数．

2. 察看函数 f （x）＝ x 和 f （x）＝ 的图像，并达成下边的两个函数值对应表，而后说出这两个函数有什么共同特点．

22 能够看到两个函数的图像都对于原点对称．函数图像的这个特点，反应在

分析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值

f （x）也是一对相

反数，即对任一 x∈R都有 f （－ x）＝－ f （ x）．此时，称函数 y＝f （ x）为奇函

数．

二、成立模型

由上边的剖析议论指引学生成立奇函数、 偶函数的定义 1. 奇、偶函数的定义







假如对于函数 f （ x）的定义域内随意一个 x，都有 f （－ x）＝－ f （ x），那







么函数 f （ x）就叫作奇函数．假如对于函数

f （x）的定义域内随意一个 x，都

有 f （－ x）＝ f （x），那么函数 f （ x）就叫作偶函数．

2. 提出问题，组织学生议论

（ 1）假如定义在 R 上的函数 f （x）知足 f （－ 2）＝ f （ 2），那么 f （x）是

偶函数吗？ （f （x）不必定是偶函数）

（ 2）奇、偶函数的图像有什么特点？

（奇、偶函数的图像分别对于原点、 y 轴对称）

（3）奇、偶函数的定义域

有什么特点？ （奇、偶函数的定义域对于原点对称）

三、解说应用 ［例 题］

1. 判断以下函数的奇偶性．

注：①规范解题格式；②对于（ 5）要注意定义域 x∈（－ 1，1］．

2. 已知：定义在 R上的函数 f （x）是奇函数，当 x＞ 0 时，f （x）＝x（ 1＋ x），






















































求 f （x）的表达式．



解：（ 1）任取 x＜0，则－ x＞0，∴ f （－ x）＝－ x（1－x），



而 f （x）是奇函数，∴ f （－ x）＝－ f （ x）．∴ f （ x）＝ x（ 1－ x）．



（ 2）当 x＝0 时， f （－ 0）＝－ f （ 0），∴ f （0）＝－ f （0），故 f （0）＝ 0．



3. 已知：函数 f （x）是偶函数，且在（－∞， 0）上是减函数，判断 f （ x）在（ 0，＋∞）上是增函数，仍是减函数，并证明你的结论．



解：先联合图像特点：偶函数的图像对于



y 轴对称，猜想 f （x）在（ 0，＋

∞）上是增函数，证明以下：



任取 x1＞x2＞0，则－ x1＜－ x2＜ 0．



∵ f （ x）在（－∞， 0）上是减函数，∴ f （－ x1）＞ f （－ x2）． 又 f



思虑：奇函数或偶函数在对于原点对称的两个区间上的单一性有何关系？



［练 习］

1. 已知：函数 f （x）是奇函数，在［ a，b］上是增函数（ b＞a＞0），问 f



）



（ x）是偶函数，∴ f （ x1）＞ f （x2）．

∴f （ x）在（ 0，＋∞）上是增函数．

（x）在［－ b，－ a］上的单一性怎样．

（ x）＝－ x3｜x｜的大概图像可能是（



3. 函数 f （ x）＝ ax2＋bx＋ c，（a，b，c∈R），当 a， b， c 知足什么条件时，

（ 1）函数 f （ x）是偶函数．（ 2）函数 f （x）是奇函数． 4. 设 f （x）， g（ x）





分别是 R 上的奇函数和偶函数，而且 f （ x）＋ g（x）＝ x（x＋1），求 f （x），g （ x）的分析式．

四、拓展延长



1. 有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？如有，有多少个？



2. 设 f （x），g

（ x）分别是 R 上的奇函数，偶函数，试研究：



（1）F（x）＝ f （x）· g（ x）

的奇偶性． （2）G（ x）＝｜ f （x）｜＋ g（x）的奇偶性．



3. 已知 a∈R， f （x）＝ a－ ，试确立 a 的值，使 f （x）是奇函数． 4. 一个定义在Ｒ上的函数，能否都能够表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？

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