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如何判定一个四边形是矩形
矩形是一种特殊的平行四边形，如何判定一个四边形是矩形呢？同学们可以从以下几个方面进行思考.
一、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
例1、：如图1，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．假设DE=BE，那么四边形AGBD是什么特殊四边形？并说明理由．
分析：此题是一道结论探索题，根据条件可以得到AD//BG，根据AG//BD，可知四边形AGBD是平行四边形，然后根据DE=BE，可以得∠ADB=90°，这样可判断四边形AGBD是矩形.
解：当DE=BE时，四边形 AGBD是矩形．
理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC ． 因为AG∥BD ，所以四边形 AGBD 是平行四边形． 因为DE=BE，AE=BE ，所以AE=BE=DE ， 所以∠1=∠2，∠3=∠4． 因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°． 即∠ADB=90°．
所以四边形AGBD是矩形〔有一个角是直角的平行四边形叫做矩形〕． 二、对角线相等的平行四边形是矩形．
例2、：如图2，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF，假设AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并说明理由.
分析：由题设条件，易说明△DAF≌△DCE，进而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四边形AFCE是平行四边形，又AC=EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形〞可说明四边形AFCE是矩形.
解：因为D是AC的中点，所以DA=DC， 因为AF∥CE，所以∠AFD=∠CED。 在△DAF和△DCE中，
∠AFD=∠CED，∠CDE=∠FDE，DA=DC，
B
DC
图2
E
F
A
图1
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所以△DAF≌△DCE，
所以AF=CE，所以四边形AFCE是平行四边形， 因为AC=EF，
所以四边形AFCE是矩形〔对角线相等的平行四边形是矩形〕。 三、有三个角是直角的四边形是矩形．
例3、：如图3，直线AB∥CD，EF和AB、CD分别相交于M、N两点，射线MP、MQ、NP、NQ分别是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分线，MP、NP相交于P，MQ和NQ相交于Q，说明：四边形MPNQ是矩形．
分析：由题设条件，容易得出直角，所以要说明四边形MPNQ是矩形，可考虑说明三个角为直角.
解：因为MP平分∠AMN，MQ平分∠BMN，
11
∠AMN，∠QMN=∠BMN， 22
1
所以∠PMQ=∠PMN+∠QMN=〔∠AMN+∠BMN〕=90°，
2
所以∠PMN=同理∠PNQ=90°。 因为AB∥CD，
所以∠AMN+∠MNC=180°， 所以∠PNM+∠PMN=
图3
1
〔∠AMN+∠MNC〕=90°， 2
所以∠MPN=90°，
所以四边形MPNQ是矩形〔有三个角是直角的四边形是矩形〕。.
练习：如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E． (1)求证：△ABD≌△EDB；(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
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答案：(1)因为AB=ED，AD=EB，BD=DB，所以△ABD≌△EDB；
(2)首先看四边形ABCD已经具备了那些条件，由△ABD≌△EDB可得∠A=∠E=90°，那么只需证明四边形ABCD为平行四边形或再证明另两个角为直角即可.
要使四边形ABCD为平行四边，可添加的条件可以为：AB∥CD，或添加AD=BC或BE=BC； 要使另两个角为直角，可添加的条件可以为：∠A=∠ADC或∠ADC=90°或∠A=∠C或∠C=90°或∠ABD=∠BDC或∠A=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠ABC=90°等.
以添加∠A=∠C为例加以证明.
∵BE⊥DE，∴∠E=90°，∵△ABD≌△EDB，∴∠A=∠E=90°，∵∠A=∠C，∴∠C=90°，∵CD=ED，BD=BD，∴△CDB≌△EDB，∴BE=BC，∵AD=EB，∴AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形〔有一个角是直角的平行四边形为矩形〕.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/6274c762a16925c52cc58bd63186bceb19e8edbb.html
2022-03-06
