解决蚂蚁爬行问题的小技巧

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解决蚂蚁爬行问题的小技巧



关于蚂蚁爬行的最短距离问题，我们通常是通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用“两点之间，线段最短”解决问题。下面笔者总结了一些解这类题型的小技巧，方便解题。

求一只蚂蚁从顶点A出发，求沿立体图形的表面爬到对角顶点B处的最短距离。

（1）蚂蚁在正方体表面爬行。设正方体的边长为a，则三种展开方式距离一样，为■＝■a.

应用：如下图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 答案： 2■.

（2）蚂蚁在长方体表面爬行。设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则最短路线应为下列展开图中的线段l1、l2或者l3。

第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形

l1＝■＝■.

第二种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面 l2＝■＝■.第三种情况：把我们看到的左面与上面组成


一个长方形 l3＝■＝■.

所以只需要比较ab、bc、ac的大小，就可以知道哪条线路最短。

应用：如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为 。 解：最短距离＝■＝■.

（3）蚂蚁在圆柱表面爬行。当题目没有强调蚂蚁沿圆柱侧面爬行时，应分两种情况讨论。在一般情况下，当圆柱的底面周长为C，高为h时，

路线1：侧面展开图中的线段AC．如下图所示： 距离为l1＝AC＝■＝■，

路线2：高线AB+底面直径BC．如下图（1）所示： 距离为l2＝AB ＋BC＝h＋■， 分别计算，比较大小即可。

应用：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约（ ）. A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm

解：将圆柱体展开，连接DC，圆柱体的底面周长为24cm，


则BC＝12cm，

根据两点之间线段最短，CD＝■＝4■≈13cm． 而走B-D-C的距离更短，∵BD＝4，BC＝■， ∴BD+BC≈11.64≈12．故选B．

（4）蚂蚁在圆锥的侧面爬行。先计算出圆锥侧面展开的扇形的圆心角，画出展开图，用勾股定理解决。

应用：如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A.■ B.2 ■ C.3■ D.3

解：由题意知， 底面周长等于2πr＝4π． 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π＝■，解得n＝120°，所以展开图中∠APD＝120°÷2＝60°.根据勾股定理求得AD＝3■，

所以蚂蚁爬行的最短距离为3■．故选C．

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