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课时分层作业(八) 基本不等式的简单应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设s＝a＋b＋1，t＝a＋2b，则s与t的大小关系是( ) A．s≥t C．s≤t
A [∵ b＋1≥2b.∴s≥t]
2．不等式a＋1≥2a中等号成立的条件是( ) A．a＝±1 C．a＝－1
2
22
2
B．s>t D．s<t
B．a＝1 D．a＝0
B [由a＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．] 3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
a＋b
A．ab≤
2
12C．≥2 aba＋b2
B．ab≤
a2＋b2
2
12D．≤ aba＋b
D [由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由12∴≥，故选D.] aba＋b
a＋b
2
≥ab得，ab≤
a＋b
2
1a＋b122
4．下列各不等式：①a＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2；④x＋2≥1，其中正确
xx＋1ab的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0 B [仅②④正确．]
5．若0<a<1，0<b<1且a≠b，则在a＋b，2ab，a＋b和2ab中最大的是( ) A．a＋b C．a＋b
A [由0<a<1，0<b<1，得a＋b<a＋b， 又2ab≤a＋b，2ab≤a＋b， 则最大的是a＋b.]
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2
22
2
2
2
2
2
B．2ab D．2ab
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二、填空题
6．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．
11
[因为a＋2b≥2a·2b.所以2a·2b≤2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等22号．]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值
a＋b
2
的大小关系为________．
a＋bx≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
2
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).
∴1＋x＝（1＋a）（1＋b）≤∴x≤
1＋a＋1＋ba＋b
＝1＋， 22
a＋b
2
.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．设a，b为非零实数，给出不等式： ①
a2＋b2
2
≥ab；②
a2＋b2a＋b
2
≥
；③2≥a＋b；④b＋a≥2.
2
a＋babab
其中恒成立的不等式的序号是________．
①② [由重要不等式a＋b≥2ab可知，①正确；
2
2
a2＋b2（a2＋b2）＋（a2＋b2）a2＋b2＋2ab（a＋b）2a＋b
2
＝
4
≥
4
＝
4
＝
，故②正确； 2
1
＝－，可知③不正a＋b2
对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为确；
令a＝1，b＝－1可知④不正确．] 三、解答题
9．已知x，y，z是互不相等的正数，
a＋b
2
＝－1，右边为
ab
111
求证：x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.
yzx
111111[证明] ∵x＋＋y＋＋z＋＝x＋＋y＋＋z＋>2
yzxxyz
＋2
x·＋2
x
1
y·y
1
z·＝6 z
1
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111
∴x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.
yzx
10．设a、b、c均为正数，求证＋＋≥a＋b＋c. [证明] ∵a、b、c均是正数，∴，
bccaababc
bccaab
，均是正数， abc
∴
bccacaababbc
＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， abbcca
三式相加得：
bccaab2＋＋≥2(a＋b＋c)， a
b
c
∴
bccaab
＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号． abc
11．下列不等式一定成立的是( ) 1
A．x＋≥2
x
x2＋2
B．2≥2
x＋1
2D．≤ab 11＋
C．＋≥2
baab
ab
x2＋212
B [2＝x＋1＋2≥2，故选B.]
x＋1x＋1
12．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b>2ab 112C．＋>
2
2
B．a＋b≥2ab D．＋≥2
ab
ab
ba
ab
D [当a＝b时，a＋b＝2ab，故A不成立；当a，b均小于零时，B，C不成立；由ab>0，得，均大于零，由基本不等式得＋≥2
22
baabbaabba
·＝2.] ab
13．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，则x＋y≤a恒成立的a的最小值是( ) A．
2
B．2C．2D．22 2
12
B [(x＋y)＝1＋2xy≤1＋1＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号，所以a≥2，故
2选B.]
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/60a8e3c76c1aff00bed5b9f3f90f76c661374c87.html
2022-05-03
