余数三大定理

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余数三大定理

1. 余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例1：18，21除以5的余数分别是1和3，而18+21=39除以5的

余数等于4，即是两个余数的和1+3.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c所得的

余数。

例2：18，23除以5的余数分别是3和3，所以18+23=39除以5

的余数等于3+3=6再除以5的余数，即为1.

论证：设除数为x，第一个商为m，余数为a，则第一个被除数为mx+a，设第二个商为n，余数为b，则第二个被除数为nx+b，两个被除数相加为：（m+n）x+（a+b），因为（m+n）x是x的倍数，所以，两个被除数的和除以x得到的余数为a+b，若a+b＞x，则，所求余数为a+b再除以x所得的余数。 2. 余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例3：18，21除以5的余数分别是1和3，而18×21=378除以5的

余数等于3，即是两个余数的积1×3.

当余数的积比除数大时，所求的余数等于两个余数的积再除以c所得的余数。


例4：18，23除以5的余数分别是3和3，所以18×23=414除以5

的余数等于3×3=9再除以5的余数，即为4.

论证：设除数为x，第一个商为m，余数为a，则第一个被除数为mx+a，设第二个商为n，余数为b，则第二个被除数为nx+b，两个被除数相乘为：（mx+a）×（nx+b）=mnx·x+mb·x+na·x+ab=（mnx+mb+na）x+ab，因为（mnx+mb+na）x是x的倍数，所以，两个被除数的积除以x得到的余数为ab，若ab＞x，则，所求余数为ab再除以x所得的余数。 3. 同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（mod m），左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a、b除以同一个数m，得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。

例5：18，33除以5的余数都是3，则 33－18=15一定能被5整

除。

论证：设除数为x，第一个商为m，余数为a，则第一个被除数为

mx+a，设第二个商为n（n＜m），余数为a，则第二个被除数为nx+a，两个被除数的差为：（m－n）x，（m+n）x是x的倍数，所以，两个被除数的差一定能被x整除。

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