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最小公约数
公约数是一个无穷小,但它的几何意义却不大。因为在实际生活中,人们总习惯于把相等的两个数叫做“互质”,如0和1、2和3……,这样就产生了一些悖论。比如:如果某两个自然数之间存在着两个互质数,那么后面的一个数一定可以写成前一个数与它本身乘积的形式。而当一个数只有两个非零的正因数时,这两个非零的正因数也必定都是整数。对于数学来说,这种现象完全没有讨论价值。由此看出,这里所讲的“最小公倍数”其实是指求一个数的因数的过程。
首先我们要知道什么叫最小公倍数?对于“多少”这个概念不能笼统地下结论,例如我们想找到1和5的公倍数,或者想寻找5和7的公倍数。需要明确的是,我们通常认为的5和7其实并不存在最小公倍数。这是因为5=13×7,而7和17又怎么算呢?因此如果从数学上去计算的话,显然是不合理的。这就是为什么我们提倡用“互质”这个词汇的原因。根据公倍数的性质,两个自然数的公倍数,其中较小的一个一定是它们的最小公倍数。而两个互质数的最小公倍数则有无限个。为了简化运算,我们假设公倍数 a, b 都是整数,那么有(a, b)×(b, a)=(a, b)×1=1。再加上任意两个数的差数为一个新的因数 x,然后我们便得到最小公倍数 ax+b。注意:由于方程 ax+b 的解为1,即 x=1/(1+1),所以 a, b 两个数分别应该满足公约数的性质,这样才能保证 ax+b 为一个真正的公约数。举例来说:5和12的公约数是5,所以它们的
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最小公倍数是10;12和15的公约数是12,所以它们的最小公倍数是20。另外还可以有两组数进行研究。其一,12和21的公约数是6,所以12和21是两个互质数;其二,16和26的公约数是8,所以16和26也是互质数。
所以,我们经常听到别人问你某两个数是否互质,并且还给出很精妙的答案,诸如“这两个数互质”“两个互质数不一定相等”等。我想我们每天都会碰见这样的情况,那么在日常生活中遇到这类问题我们应该采取什么措施呢?首先,关键是要弄清楚两个数的含义,准确判断两个数的符号。其次,应考虑好各种条件,选择适宜的方法解决问题。最后,平时练习时应该反复巩固训练,争取熟练掌握运算技巧,努力达到融会贯通,灵活运用。其实,在我们的生活中还有许多地方可以利用这个性质。例如,解题时可以利用最小公倍数的求法快速解题。另外,许多人把大数与小数作为分母,是不严谨的。
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