等比数列的定义及其通项公式

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等比数列的定义及其通项公式

【基础回顾】 1.等比数列的定义

an

q（q为常数且q0，nN+且n2） an1

2.等比数列的通项公式及其性质

anamqnm ana1qn1

特例

推广

等比数列中没有零这个项且其中的项要么全部是正或全部是负或正负间隔出现，总之，等比．．数列的奇数项符号相同，偶数项的符号相同.等比数列的通项形式是指数式. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3.等比中项

推广推广22anamanapaq(mnpq) anan1an1(n2)ankank(nk1)

特例

特例

4.等比数列的证明 （1）定义法：

an

q(n2，nN+，q是非零常数) an1

2

（2）等比中项法：anan1an1（n2，且an0）

（3）通项公式法：ankqn（k,q为常数，且kq0） （4）求和法：SnAqnB，且AB0，AB0. 5.函数性质 【典型例题】

例1 已知无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

（1）数列an，an1，，a2，a1也成等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比； （2）依次取出{an}的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比；

（3）数列{can}（其中c为常数且c0）是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比. 例2 在等比数列{an}中.

（1）已知a13，q2，则a6 ；（2）已知an32n，则a1 ，d ； （3）它的首项和公比均为2，若它的末项为32，则这个数列共有 项； （4）已知a12，a7128，则q ；（5）已知a427，q3，则a7 ； （6）已知a320，a6160，则an ；（7）若an4an，则q .

例3 （1）已知{an}为等比数列，且a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于 ； （2）已知等比数列{an}中，a3a833，a4a732，且数列{an}是递增数列，则数列{an}的公比q为 .

练习：（1）等比数列a1，2a，8a，的第四项为 ；

（2）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6 . 例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数和第三个数的和是12，求这四个数.


【夯实基础】

1.在等比数列{an}中，如果a66，a99，那么a3的值为（ ）

316

C. D.2 29

2.已知数列a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则实数a的取值范围是（ ） A.a1 B.a1或a0 C.a0 D.a1且a0

3.公差不为0的等差数列{an}中，a2、a3、a6依次成等比数列，则公比等于（ ） 11

A. B. C.2 D.3 23

4.已知数列{an}的前n项和Snan1（a是不为0的常数），那么数列{an}是（ ）

A.4 B.

A.一定是等差数列 B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列 5.ABC的三边a、b、c成等比数列，则角B的取值范围是（ ） A.[0,

] B.(0,] C.[0,] D.(0,] 6633

32781

,,，则x ，y . 6.已知等比数列x,,y,

41632

aa5

7.若正项等比数列{an}的公比q1，且a3,a5,a6成等差数列，则3等于 .

a4a6

8278.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 .

32

ac

9.设a、b、c成等比数列，x是a、b的等差中项，y是b、c的等差中项，则

xy

.

10.已知{an}成等差数列，{bn}成等比数列，且公差与公比均为d（d0，且d1）.若



a1b1，a33b3，a55b5，求an和bn.



11.已知有穷数列{an}共有2k项（整数k2），首项a12，设该数列的前n项和为Sn，且an1(a1)Sn2（n1,2,,2k1），其中常数a1. （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a2

2

2k1

，数列{bn}满足bn

1

log2(a1a2an)(n1,2,,2k)，求数列{bn}的n

通项公式.

12.已知数列{an}中，Sn表示前n项和，若a11，Sn14an2（nN+） （1）求证：{an12an}为等比数列；（2）求证：{

an

}为等差数列；（3）求an，Sn； n2

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