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高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查.
学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合.
基础知识梳理
1. 正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可
sin Asin Bsin C
以变形:(1)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;(3)sin A=,sin B=,sin C=等形式,解决不同的三角形问题.
2R2R2R
2. 余弦定理:a=b+c-2bccos_A,b=a+c-2accos_B,c=a+b-2abcos_C.余弦
2
2
2
2
2
2
2
2
2
abc
abc
b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2
定理可以变形:cos A=,cos B=,cos C=.
2bc2ac2ab
111abc1
3. S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半
2224R2
径),并可由此计算R、r.
4. 在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
图形
关系式 解的个数
A为锐角 A为钝角或直角
a=bsin A
一解
bsin A<a<b
两解
a≥b
一解
a>b
一解
[难点正本 疑点清源]
1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;在锐角三角形中,cosA·
2. 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
例1.已知在ABC中,c10,A45,C30,解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边a,然后用三角形内角和求出角B,最后用正弦定理求出边b.
解析:
ac
, sinAsinC
csinA10sin45
102,sinCsin30
∴a
∴ B180(AC)105, 又
bc
,
sinBsinC
csinB10sin10562
20sin75205652. sinCsin304
∴b总结升华:
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式.
举一反三:
【变式1】在ABC中,已知A32.00,B81.80,a42.9cm,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理,C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20;
asinB42.9sin81.80
根据正弦定理,b80.1(cm);
sinAsin32.00asinC42.9sin66.20
根据正弦定理,c74.1(cm).
sinAsin32.00
【变式2】在ABC中,已知B75,C60,c5,求a、A. 【答案】A180(BC)180(7560)45,
0
0
0
0
0
00
根据正弦定理
56a5
a,∴.
3sin45osin60o
【变式3】在ABC中,已知sinA:sinB:sinC1:2:3,求a:b:c 【答案】根据正弦定理
例2.在ABC中,b
abc,得a:b:csinA:sinB:sinC1:2:3.
sinAsinBsinC
3,B60,c1,求:a和A,C.
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角C,然后用三角形内角和求出角A,最后用正弦定理求出边a.
解析:由正弦定理得:
bc
,
sinBsinC
∴sinC
csinB1sin601
, b23
(方法一)∵0C180, ∴C30或C150,
当C150时,BC210180,(舍去); 当C30时,A90,∴ab2c22. (方法二)∵bc,B60, ∴CB, ∴C60即C为锐角, ∴C30,A90 ∴ab2c22. 总结升华:
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角C时,因为sinCsin(180C),所以要依据题意准确确定角C的范围,再求出角C.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 类型二:余弦定理的应用:
例3.已知ABC中,AB3、BC
0
37、AC4,求ABC中的最大角。
思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解. 解析:∵三边中BC
37最大,∴BC其所对角A最大,
AB2AC2BC23242(37)21
, 根据余弦定理:cosA
2ABAC2342
∵ 0A180, ∴A120 故ABC中的最大角是A120. 总结升华:
1.ABC中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理; 2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系. 举一反三:
【变式1】已知ABC中a3, b5, c7, 求角C.
a2b2c25232721
, 【答案】根据余弦定理:cosC
2ab2352
∵0C180, ∴C120
【变式2】在ABC中,角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a:b:c
o
6:2(:31),求ABC的各角的大小.
【答案】设a
6k,b2k,c
31k,k0
2
根据余弦定理得:cosB
6
231
314
6
2, 2
∵0B180,∴B45; 同理可得A60; ∴C180AB75
【变式3】在ABC中,若abcbc,求角A.
2
2
2
b2c2a21
【答案】∵bcabc, ∴cosA
2bc2
2
2
2
∵0A180, ∴A120 类型三:正、余弦定理的综合应用
例4.在ABC中,已知a23,c62,B450,求b及A.
思路点拨: 画出示意图,由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b,然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.
解析:
⑴由余弦定理得:
b2a2c22accosB
=(23)2(62)2223(62)cos450 =12(62)243(31) =8 ∴b22.
⑵求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: (法一:余弦定理)
b2c2a2(22)2(62)2(23)21
, ∵cosA
2bc2222(62)
∴A600.
(法二:正弦定理)
a233
∵sinAsinB sin450
b222
又∵622.41.43.8,2321.83.6 ∴a<c,即00<A<900, ∴A600.
总结升华:画出示意图,数形结合,正确选用正弦、余弦定理,可以使解答更快、更好. 举一反三:
【变式1】在ABC中,已知b3, c4, A135.求B和C. 【答案】由余弦定理得:a34234cos13525122, ∴a
2
2
2
o
0
251226.48
bsinA3sin135o
0.327, 由正弦定理得:sinBaa
因为A135为钝角,则B为锐角, ∴B197. ∴C180(AB)2553.
0
0
/
00/
b22,【变式2】在ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若a2,c62,求角A和sinC
【答案】根据余弦定理可得:
b2c2a2884343
cosA
2bc222262
∵0A180, ∴ A30 ;
csinA
∴由正弦定理得:sinCa
62sin30
2
624
.
其他应用题详解
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.a km C.2a km
B.3a km D.2a km
解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ACB中,由余弦定理1
得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×-=3a2,
2
∴AB=3a. 答案 B
2.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A.22 km C.33 km
B.32 km D.23 km
15
解析 如图,由条件知AB=24×=6,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,
60∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知
BSsin30°
=
,所以BS=sin30°=32.
sin45°sin45°
答案 B
3.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是( )
A.35海里 C.353海里
B.352海里 D.70海里
ABAB
解析 设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有
CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,
EF=CE2+CF2-2CE·CFcos120° =502+302-2×50×30cos120°=70. 答案 D
4.(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是( )
3
A.201+ m
3C.20(1+3) m
3
B.201+ m
2D.30 m
解析 如图所示,由已知可知,四边形CBMD为正方形,CB=20 m,所以BM=20 m.又在Rt△AMD中,
DM=20 m,∠ADM=30°, 20
∴AM=DMtan30°=3(m).
3∴AB=AM+MB=
20
3+20 3
3
=201+(m).
3
答案 A
5.(2013·天津卷)在△ABC中,∠ABC==( )
A.C.10 10310
10
B.D.
10 55 5
π
,AB=2,BC=3,则sin∠BAC4
解析 由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=(2)2+32-2×22sin∠ABC=5,所以AC=5,再由正弦定理:sin∠BAC=·BC=2AC
3×
2
25
×3×
310=.
10
答案 C
6.(2014·滁州调研)线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始多少h后,两车的距离最小( )
A.C.69
4370 43
B.1 D.2
解析 如图所示,设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则
AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理,得
DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°
=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t =12 900t2-42 000t+40 000. 当t=
70
时,DE最小. 43
答案 C
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.已知A,B两地的距离为10 km,B,C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为________km.
解析 如右图所示,由余弦定理可得:
AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700, ∴AC=107(km). 答案 107
8.如下图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.
解析 设航速为v n mile/h
1
在△ABS中,AB=v,BS=82,∠BSA=45°,
21v282
由正弦定理得:=,
sin30°sin45°∴v=32(n mile/h). 答案 32
9.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.
解析 在△BCD中 ,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,
BCsin45°
=
CDsin30°
,
BC=
CDsin45°sin30°
=102(米).
在Rt△ABC中,tan60°==106(米). 答案 106
AB
,AB=BCtan60° BC
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
10.(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为106米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?
解 在△BCD中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=106,由正弦定理,得
BC=
CDsin45°sin30°
=203.
在Rt△ABC中,AB=BCsin60°=203×30
==0.6(米/秒). 50
11.
3AB=30(米),所以升旗速度v=2t
如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?
解 由题意,知AB=5(3+3)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB中,由正弦定理,得
DBsin∠DAB
=
ABsin∠ADB
,
于是DB===
AB·sin∠DAB53+3·sin45°
=
sin∠ADBsin105°
53+3·sin45°
sin45°cos60°+cos45°sin60°53
3+13+12
=103(海里).
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=203(海里), 在△DBC中,由余弦定理,得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC 1
=300+1 200-2×103×203×=900.
2得CD=30(海里),
故需要的时间t=
30
=1(小时),30
即救援船到达D点需要1小时. 12.
(2013·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到
C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,123cosA=,cosC=.
135
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解 (1)在△ABC中,因为cosA=所以sinA=
54
,sinC=. 135
5312463
×+×=. 13513565
123,cosC=, 135
从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理
ABsinC
=
ACsinB
,得AB=
ACsinB
×sinC=
1 2604
×=1 040(m). 63565
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得
12
=200(37t2+70t+13
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×50),
因0≤t≤
1 04035
,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短. 13037
1 2605
(3)由正弦定理=,得BC=×sinA=×=500(m).乙
sinAsinBsinB6313
65从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤≤v≤
500
7101 250
≤3,解得5043
BCACAC
v
-
625
,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速14
1 250625
,](单位:m/min)范围内. 4314
度应控制在[
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