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如何高效地学习数学？
也许这个题有点太大了，也太笼统了，但这也是我每一个学生都在问我的问题。 我知道这是一个很难回答的问题，因为答案在很大程度上取决于你个人的情况，但是我也许可以尝试给出一些一般性的建议：
（1）尝试不同的书籍（不针对中学生而言）国内中学数学一般都是通用的几套教材。可能是您正在使用的特定教科书并不适合您，就像代数和分析有数百种可用的书籍，但并不是都适合你去读，关键是找到一本适合自己的可读性的教材。例如你可以去Springer, Bookzz, e-library这些专门的网站上浏览一些专门的书籍，看看它们是否适合你。此外，每个大学图书馆也会有很多这样的书籍，您可以选择性的浏览。不同的书可能侧重的东西就不同，譬如你的本科教材可能其中就有很多练习，这也许是一个基础巩固阶段，但有些书籍不一定有很多练习，但有更好的解释和应用。这样一来，如果尝试组合使用不同的书籍，把具有解释性和应用性的书籍和练习类书籍相配套使用可能学习的效果更好。
（2）培养数字敏感度：如果你对数字没有任何兴奋点，其实必然会导致你在数学的某些方面会存在问题，毕竟大多数初等数学都是在与数字打交道，不过在我给学生上课过程中发现，学生对于确切的数字理解力还是够，但是对于抽象的字母数字异常的困惑。也就是说缺失对数字的敏感度你很难将它们与具体事物联系起来（这也就是一个由抽象到具体的过程）。例如。当你绘制像yx2的图像时，你能
够很容易地意识到像（9,81）、（12,144）这样的点在图像上，因为
122144 9281而像（11,120）不在图像上（因为112121120），但
是非常接近图像（因为121与120的距离不是很远）。日常生活有很多机会培养对数字的敏感度，只要不断的去尝试去思考。当下比较流行的心算其实也是一种培养数字敏感的的方式。大家也听过关于数学家高斯的故事,幼年时代上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算：1+2+3+……100=？小高斯很快就得出答案5050，小高斯为什么能算得又快又准呢？其实这就是数字敏感度的具体体现。
（3）尝试从错误中学习数学：数学的一个本质特征是，当你在解某一道题犯了错误时，一定会有一个特定的原因，这与其他学科似乎有些区别。当你发现某个题做错了，那么试着找出每种可能出错情况（或许越多错误反而越好），接下来你就需要不停地去试错并解决它，我想当你真的解决了这些bug,那么以后也就不再犯这个错误。当然，由于数学学习本身就是个积累过程，可能发生的一件事就是是，很多个知识点同时出现在一道题当中（现在的高考数学一般都是多个知识点融合着考，某个知识点单独命题的可能性不大），然后很难弄清楚到底哪个特定的知识点出了问题。在这种情况下，那么就应该尽量将计算分解为多个小步骤，这样的话就可以针对每个小步骤进行查错并纠正。
（4）写下所有的计算过程：通过大量的数学演算，记下所有解题步骤，不放过任何一个计算细节包括符号，以便能够及时查错，可以想起做题时的思路。如果清楚地列出整个计算过程，那么以后的学
习过程中很容易发现自己的弱点尤其的计算能力可以得到迅速的提升。正因为很多学生在平时的练习中总是跳过步骤，使得整个解题过程过于简单，不便于发现自己的问题，这样以后再学习它会更加困难。
以上是结合我自身学习数学的几点感受，说不上经验。其实数学学习本身就是是通过大量的反复试错，纠错来达到的。仅仅凭借别人的经验是不可能学好数学的。就个人而言，我想告诉你我认为可以借鉴的数学学习方式。其实学习数学无外乎这三个东西：1、定义2、定理3例题+练习。定义和定理是学习数学的关键也就是就是理解数学的基础。例题+练习是考试的保障。例如，要理解微积分基本定理，你必须了解导数的定义是什么。定义是基础，我硕士导师给我最大的启发就是学数学搞定了定义你就学会一半了，如果连最基本的定义都搞不清楚就更别谈定理与练习了。需要反复琢磨定义看看你是否已经吸收并理解它们。但是现在有些老师却一味的的强调定理+练习，这样使得学生知其然但并不知其所以然。对于定理，这确实对于数学来说是个好东西，我们通常在一边写下定理的陈述而在另一边写出定理的证明。定理的重量级用途往往都不是在证明过程中，而是在于灵活的应用它得到其他漂亮的结果。对于例题+练习，毫无疑问对于学习数学来说是必不可少的，首先例题一定是来源于教材，尤其对于中学数学尤为重要，选进教材的例题往往具有代表性，堪称经典。搞懂例题不是解出这道题而是会举一反三尝试变式训练，甚至自己会提出同类问题。接下来就是一定量的辅助练习，这里不再讨论了。
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2022-08-11
