高中物理学的几个微积分解释

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高中物理学的几个微积分解释

河南省汤阴县一中 张淑强

在普通高中数学课程中，有关于对函数求导和简单微积分知识的应用。而“应用数学知识解决物理问题”是要求高中学生所具备的能力，也是高考中所要求的“五种能力”之中很重要的一种。在物理教学中，教师可以大胆尝试，创新教法，利用简单微积分知识解释和解决一些物理学问题，既锻炼了学生的思维能力，又使一些复杂问题变得简单易懂。

一．转动金属棒电磁感应问题：

长为l的金属棒在磁感应强度为B的匀强磁场中垂直磁感线方向转动，角速度为ω，则该金属棒产生的感应电动势为：

12l12EBvdlBldlBl0Bl

0022

l

l



若围绕棒所在直线上的任一点转动，由以上积分式容易看出结果相同。

二．航天器变轨过程中能量变化问题

r2GMm-2-1r2

EPdrGMmrdrGMmrr1r1r1

r2

GMmGMmGMmGMm GMmr2

r1rr1r1r2r2

r2

根据万有引力提供向心力公式，有关系：

GMmmv2

 2

rr

所以轨道半径为r的航天器的动能Ek容易得到动能减少量为：Ek对比易得：Ep2Ek 机械能变化量EEpEk

12GMm

mv

22r

GMmGMm1GMmGMm

-- 2r12r22r1r2

1GMmGMm

-0 2r1r2


即航天器由低轨道变轨为高轨道环绕地球运动时，势能增加量是动能减少量的2倍，总机械能增加。

三．弹簧弹性势能问题：

设弹簧劲度系数为k，伸长量由x1增加为x2,则根据弹性势能增加量等于克服弹簧弹力做功，得：

Ep(kx)dx

x1x2

12

kx2

x2x1



1212kx2kx1 22

又因为：EpEp2Ep1 故弹簧弹性势能表达式为Ep

12kx 2

反之，如果缩短，亦可证明其表达式，只是要注意式中两个x都是矢量，在此不再赘述。

四．动能及动能定理的积分解释

一个质量为m的物体受力而运动加快，我们探究其所受合力做功问题：

Wmadxmat求其定积分：

v21Wmvdvmv2

v1

2

v2v1

dx

mvdv dt

1212mv2mv1 22



这就是动能定理，我们很自然地看出：表示物体因运动而具有的能量的物理量--动能的表达式为Ek

12mv 2

五．简谐运动中的微分理解：

例如：某简谐运动位移表达式为xAsin(t)，其规律符合正弦函数规律，其速度即对位移求导，速度vx'[Asin(t)]'Acos(t)，易见速度变化情况符合余弦函数规律。

六．速度位移公式

位移、速度、加速度、时间是运动学中的四个关键物理量，它们的关系其实用微积分表达最准确，也便于学生真正对这几个物理量的理解。

1.积分理解：在匀速直线运动中，我们熟知位移x=vt,但对于匀变速直线运

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