余弦定理

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余弦定理（一）

一、教学目标 1、知识与技能：（1）了解向量知识的应用，掌握余弦定理的推导过程 （2）会利用余弦定理证明简单三角形问题，求简单斜三角形问题

2、过程与方法：通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间的联系来体现事物之间的 普遍联系与辩证统一

3、情感、态度与价值观：培养学生合作交流的学习意识。 二、教学的重难点

重点：余弦定理的证明及运用

难点：向量的知识在证明余弦定理时的运用，与向量知识的联系过程。 三、教学过程 1、知识回顾

abc

.正弦定理： 2R

sinAsinBsinc运用正弦定理能解决的两类解三角形问题： （1）已知三角形任意两角和一边解三角形 （2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形 2、情景设置

实际问题：千岛湖位于我国浙江省淳安县，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A、B、C，岛屿A与B之间的距离因AB之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC、BC的距离分别为6km和4km，且AC、BC的夹角为120度

提出问题：如何测得岛屿AB的距离？

问题转化：在ABC中已知AC=6km，BC=4km，C=120，要求AB的数学问题。 探索问题：这是个解三角形的问题，那么我们用已学的解三角形知识能解决吗？ （学生很快便会发现找不到一组对边和对角无法运用正弦定理解决） 问题一般化：已知三角形两边及夹角，如何求边？（引入新课） 3、定理推导

第三

C

b

a

c A

B



在ABC中，设AB， c,ACb,BCa



bcabc那么a，则a，



bcb,cc问题转化为：已知b和b与c的夹角A且a求a.


222

推导：a aa(bc)(bc)aabb2bcbc2bccosA

222 即：abc2bccosA

自主探究：（1）、在ABC中已知：a,b和C求c。 （2）、在ABC中已知：a,c和B求b。 总结：（1）余弦定理

a2b2c22bccosA

在ABC中有：b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

（2）余弦定理变形公式：

b2c2a2

cosA,

2bc

a2c2b2

cosB,

2ac

a2b2c2

cosC

2ab

4、解决问题

解：千岛湖中岛屿AB之间的距离可由余弦定理求得：

222

ACABBC2ABBCcosB

22o 63.4263.4cos120

67.96

AC8.24

答：千岛湖中岛屿AB之间的距离为8.24km 5、例题欣赏

例1、在ABC中，已知a33，c2，B150，求b。 练习：在ABC中，已知b求a。 8，,c3,A60

例2在ABC中，已知a： 4,b5,c6（1）试求最大角的余弦值 （2）试判断该三角形形状

练习：在ABC中，已知a是判断三角形形状。 20,b29,c21

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