【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《勾股数的有趣特征》,欢迎阅读!
勾股数的有趣特征
刘 昱
在学习和运用勾股定理时,如果深入了解一下勾股数的一些特征,不仅能十分方便地熟记勾股弦的相关数值并运用到三角和几何里,而且使我们对勾股数的认识和掌握更加方便、易记。
我们知道,在一个直角三角形中,斜边为弦,两直角边中短者为勾,长者为股。它们满足勾2+股2=弦2,当勾,股,弦都是整数时,比如当勾=5,股=12,弦=13时,我们称之为一组“勾股数”或“毕达哥拉斯数”。大家常说的“勾三股四弦五”就是一组勾股数。我们可以举出无穷多组的勾股数来,如:
62+82=102 72+242=252 82+152=172 92+402=412 172+1442=1452 202+212=292…….、
大家是否想到这些勾股数尚有不少有趣的特征呢。
特征1:任意一组勾股数中,必有一个数是3的倍数;必有一个数是4的倍数;必有一个数是5的倍数。
如:6,8,10是一组勾股数,其中6是3的倍数,8是4的倍数,10是5的倍数。又如9,40,41是一组勾股数,其中9是3的倍数,40既是4的倍数也是5的倍数。
特征2:在所有的勾股数中,其中没有一组的三个数都是奇数的。 下面我们采用“反证法”来证明。
假设一组勾股数都是奇数为:2X1+1,2X2+1,2X3+1(X1 ,X2 ,X3 皆为整数) 它们分别平方后得到:(2X1+1)2=4 X12 +4 X1 +1,(2X2+1)2=4 X22 +4 X2 +1, (2X3+1)2=4 X32 +4 X3 +1
2+2 =2把这三个数中的任意两个加起来,如:(2X1+1)(2X2+1)(2X12 +2X22 +2X1 +2 X2+1) 其和是一个偶数,而(2X3+1)2 却是一个奇数,二者显然不等。
由此可见三个都是奇数的勾股数是不存在的。
特征3 :若a,b,c是一组勾股数,则ka,kb,kc(k是任意自然数)也是一组勾股数。 这个特征的证明则更简单:由a2+b2=c2,有(ka)2+(kb)2=k2(a2+b2)=(kc)2。
从而得出(ka)2+(kb)2= (kc)2。
这个特征告诉我们,只要知道一组勾股数,便可得到无数多组的勾股数。尽管如此,我们却只能得到部分勾股数,其余的勾股数是否能用简单的代数公式给出呢?为此,我们再将一些勾股数进行归类考察:
3,4,5 7,24,25 5,12,13 9,40,41 6,8,10 10,24,26 8,15,17 12,35,37 从中可以发现这些勾股数的组成规律,即
特征4:象第一组,如果第一个数是奇数,那么第二个数是第一个数的平方减1再除以
M21M21
2,第三个数是第二个数加1。写成公式:若M为奇数,则M, ,就是一
22
组勾股数。
同样,我们可以写成第二组的勾股数公式:
2
2
NN
N,1,1 (N是偶数)
22
了解勾股数的这些有趣特征,就对勾股数有了较深刻的认识,也就掌握了它们的组成
规律。在学习数学、物理时灵活运用这些有趣的特征,可收事半功倍之效。
本文来源:https://www.wddqxz.cn/5d314681bceb19e8b8f6baea.html