高中数学导数知识点归纳总结

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高中导数知识点归纳

一、基本概念 1. 导数的定义：

设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值平均变化率；如果极限lim

yf(x0x)f(x0)

称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的

xx

f(x0x)f(x0)y

存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并lim

x0xx0x

把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数。

fx在点x0处的导数记作yxx

0

f(x0)lim

x0

f(x0x)f(x0)



x

2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为yy0f'(x)(xx0). 3．基本常见函数的导数:

n

①C0;（C为常数） ②x

nx

n1

;

③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx;

xxxx

⑤(e)e; ⑥(a)alna;

⑦lnx

11

; ⑧logaxlogae. xx

二、导数的运算 1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： fxgxfxgx 

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：fxgxfxgxfxgx



常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf(x))Cf(x).(C为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以

'

'

fxfxgxfxgx

分母的平方：gx0。 2

gxgx

2.复合函数的导数

形如yf[(x)]的函数称为复合函数。法则： f[(x)]f()*(x).


三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数yf(x)在某个区间(a,b)可导，

如果f(x)0，则f(x)在此区间上为增函数； 如果f(x)0，则f(x)在此区间上为减函数。 （2）如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 3．函数的最值：

一般地，在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。函数

'

''

值点处取得。 f(x)在区间[a,b]上的最值只可能在区间端点及极

求函数f(x)在区间[a,b]上最值的一般步骤：①求函数f(x)的导数，令导数f(x)0解出方程的跟②在区间[a,b]列出x,f(x),f(x)的表格，求出极值及f(a)、f(b)的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值 4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、例题插播

例1：函数f(x)xax3x9,已知f(x)在x3时取得极值，则a= ( )

A．2

B．3 C．4 D．5

/

2

/

3

2

'

'

[解析]：∵f(x)3x2ax3，又f(x)在x3时取得极值∴f(3)306a0则a=5 例2. 已知函数f(x)xbxaxd的图像过点P（0,2）,且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70.（Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调区间. 答案：（Ⅰ）解析式是 f(x)x3x3x2.

（Ⅱ）在(1

3

2

3

2

2,12)内是减函数，在(12,)内是增函数.

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