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利用重要不等式求最大值与最小值
（麻城实验高中 阮晓锋） 定理：若x,y为实数，则有
x+y
2
2
2xy(当且仅当x=y时取等号）
推论：若x,y为正数，则有
x+y
xy（当且仅当x=y时取等号） 2
应用：已知x,y为正数，则有：
（1）如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时和x+y有最小值2p （2）如果和x+y是定值s, 那么当且仅当x=y时积xy有最大值
例1：已知x0,当x取什么值时，
12
s4
x
2
81
x
2
的值最小？最小值为多少？
解：∵x≠0∴
x
2
>0,
81
x
2
>0
又
x
2
81
xx
=81∴2
x
2
81
22
x
x
2
81
x
2
=18
（当且仅当
2
=
81
x
2
即x=3时上式取=号）
∴当且仅当x=3时
x
2
81
x
2
有最小值，最小值为18
例2一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个菜园的长，宽分别为多少
时菜园的面积最大，最大值为多少？
解：设矩形的两邻边分别为x,y m,则2x+y=L
2x+y22xy∴ ∴S=x y
L
2
8xy
12LL
(当且仅当y=2x即x=,y=时取=号） 8L42
LL12
答：矩形的长，宽分别为，时菜园的面积最大，最大的面积为L
248
1
例3：解方程xy-1z-2（x+y+z)
2
解：x>0,y>0,z>0
y-11y-1,z-21z-2 x1
x, ∴222
1
将上述三式相加得(xyz)xy-1z-2
2
（当且仅当x=1,y=2,z=3时取=号）
故原方程的解为x=1,y=2,z=3 例4：设∆ABC的边长a,b,c满足条件
2a
22
1a
b,
2b
22
1b
c,
2c1c
22
a，求S∆ABC
解：由已知得
2
2a
22
1a1b1c
2
2
2b
22
2c
22
abc
∴
（1a)(1b)(1c)
=8abc①
2
又1
a
2
2
2a,1b2b,1c2c
2
2
2
（1
a
)(1b)(1c)8abc
332
·1= 44
（当且仅当a=b=c=1时上式取=号） 故有①知a=b=c=1,从而得S∆ABC=
本文来源：https://www.wddqxz.cn/5c172f62e75c3b3567ec102de2bd960590c6d9f0.html
2022-04-10
