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立体几何中的五心问题
一，相关概念。
三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．
三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． O
B锐角三角形的外心在三角形内；
直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心
M三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．
F
三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r的计算：
1S
设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=．
2p1
特别的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)．
2
3、三角形的重心
B
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．
上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．
4、三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
5、三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．
每个三角形都有三个旁切圆． 二，例题精讲。
例1． P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影． （1）若PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心．
（2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心． （3）若PA 、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心．
（4）若△ABC是直角三角形，且PA = PB = PC则O在△ABC的_______上．． （5）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的____心；
B
A
C
A
I
E
KC
A
DH
F
GD
E
C
A
BF
D
C
E
Ia
三，技能训练。
1． Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离为８０，M为AC的中点．（１）求证：PM⊥AC；（２）求P到直线AC的距离；（３）求PM与平面ABC所成角的正切值．
2．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。
C1
A1
C
A
B1
3．如图：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心， （1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求SMNG:SADC
B
N
G
D F H C
B
A
M P
本文来源：https://www.wddqxz.cn/5be54fac8462caaedd3383c4bb4cf7ec4afeb6c9.html
2022-04-19
