高考数学复习专题15 隔板法模型(解析版)

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专题15 隔板法模型

例1．2020年高考强基计划中,北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ) A．462 C．210 【解析】

将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序， 共有NC9126种方案。 故选：B.

例2．不定方程xyz12的非负整数解的个数为（ ) A．55 【解析】

不定方程xyz12的非负整数解的个数将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位(不包含两端）中插入两块板即可， 因此,不定方程xyz12的非负整数解的个数为C1491。 故选：C。

例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,问有多少种不同的分配方案？( ) A．680 【解析】

先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,

3

680种方法。 18个苹果有17个空,插入三个 “板"。共有C17

B．126 D．132

5

B．60 C．91 D．540

2

B．816 C．1360 D．1456

故选：A.

例4．从A、B、C、D4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（ ） A．42

B．56

C．84

D．168 1 / 9

1


【解析】

将10个人排成一排，然后从中间形成的9个空中选3个，分别放入一个隔板，即可将10个人分为4个部分，且每部分至少1个人,由此可得每班人数的不同情况有C9故选C．

例5．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有( ）种 A．41 【解析】

问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档"插入档板， 即产生符合要求的方法数．故有C856种． 故选:B

例6．方程x1x2x3x412的正整数解共有（ ）组 A．165 【解析】

如图，将12个完全相同的球排成一列，



B．120

C．38

D．35

5

3

987

84种．

321

B．56 C．156 D．252

在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是x1、

x2、x3、x4，显然满足x1x2x3x412，故x1,x2,x3,x4是方程x1x2x3x412的一组解，

反之，方程x1x2x3x412的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，

3故方程x1x2x3x412的正整数解的数目为：C11

11109

165，

321

故选：A。

例7．把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A．18 【解析】

B．28

C．36

D．42

2 / 9

2


根据题意，16个相同的小球放到三个编号为1，，23的盒子中,且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球,

则原问题可以转化为将剩下的10个小球,放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题, 将剩下的10个球排成一排，有9个空位,在9个空位中任选2个,插入挡板，有C9法，

即有36个不同的符合题意的放法； 故选:C．

例8．把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ) A．96 【解析】

因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号， 又分给甲、乙、丙、丁四个人，

则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有然后再分给甲、乙、丙、丁四个人,有A424种， 所以不同的分法种数为1024240。 故选：B

例9．（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空,共有多少种放法？ （2)把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法? （3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空，共有多少种放法? （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【解析】

（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子,每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组,有两种分法:2、2、

2211

C6C4C2C134

C1、1；3、1、1、1;再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有6A41560（种） 22

AA22

2

89

36种不同的放2

B．240 C．280 D．480

C

35

10种，

4

（2）6个不同的小球放入4个不同的箱子,每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组,有两种分法:2、2、

211

C62C4C2C13

C665（种) 1、1；3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有22

A2A2

3 / 9

3

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