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椭圆的焦点弦长公式
2ab2
F1F22
ac2cos2
及其应用
在有关椭圆的综合题中,常常遇到椭圆焦点弦的问题,如何解决这类问题呢?首先我们有命题:
若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为,a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短半
2ab2
轴长和焦半距,则有F1F22。
ac2cos2
上面命题的证明很容易得出,在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB8,焦距F1F242,过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于
P、Q两点,设PF1X(0),当取什么值时,PQ等于椭圆的短轴长? 分析:由题意可知PQ是椭圆的焦点弦,且a4,c22,从而b22,故由焦
24(22)22ab2
42,点弦长公式F1F22及题设可得:解得cos22,222
168cosaccos
即arccos22或arccos22。
例2、在直角坐标系中,已知椭圆E的一个焦点为F(3,1),相应于F的准线为Y轴,直线l通过点F,且倾斜角为程。
(xc3)2(y1)21,又椭圆E相应于F的准线为Y分析:由题意可设椭圆E的方程为22
aba2
c3 (1)轴,故有, 又由焦点弦长公式有c
16
,又直线l被椭圆E截得的线段的长度为,求椭圆E的方
53
2ab2
a2c2cos2
3
16
(2)又 a2b2c2 5
(3)。解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得:a24,b23,c1,从而所求椭圆E的方
(x4)2(y1)2
1。 程为
43
x2y2xy
例3、已知椭圆C:221(ab0),直线l1:1被椭圆C截得的弦长为22,
abab
过椭圆右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的程。
2
,求椭圆C的方5
分析:由题意可知直线l1过椭圆C的长、短轴的两个端点,故有a2b28, (1)
2ab24a
3又由焦点弦长公式得2=, (2) 因=,得,(3) tan
53ac2cos2
又 a2b2c2 (4)。解由(1)、(2)、(3)、(4)联列的方程组得:a26,b22,
x2y2
1。 从而所求椭圆E的方程为62
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