高中数学必修五解三角形综合测试题一(基础含答案)

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高中数学必修五解三角形综合测试题一

（考试时间120分钟，总分150分）

一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上) . A.

6631 B. C. D. 3222

10.如果满足ABC60，AC12，BCk的△ABC恰有一个，那么k的取值范围（ ） 1.在ABC中，A45,B60,a10,则b（ ）

A.52 B.102 C.106

3

D.56

2.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.在ABC中，若a

5

2

b，A2B，则cosB（ ） A.55553 B.4 C.5 D.6



4．在ABC中，如果(abc)(bca)3bc，那么角A等于（ ） A．30 B．60 C．120 D．150

5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则新的三角形的形状为 （ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、由增加的长度决定 6.不解三角形，下列判断正确的是（ ）

A.a7,b14,A30,有两解 B.a30,b25,A150,有一解 C.a6,b9,A45,有两解 D.b9,c10,B60,无解

7．在ABC中，a6，B30

，C120

，则ABC的面积是（ ） A．9 B．18 C．93 D．183 8.在ABC中，若sinBsinCcos2

A

2

，则ABC是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 9.在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于（ ）

A．k83 B．0k12 C．k12 D．0k12或k83 11.在ABC中，A



3

，BC3，则ABC的周长为（ ）

A.43sin(B

3)3 B.43sin(B6)3 C.6sin(B3)3 D.6sin(B6)3

12.如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为 ( )

A．(30＋303) m B．(30＋153) m C．(15＋303) m D．(15＋33) m



二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13.在ABC中，若sin(AB)sin(AB)sin2C，则此三角形形状是 14.在ABC中，已知A60，b1，SABC3，则

abc

sinAsinBsinC

 .

15.在ABC中，如果a:b:c2:6:(31)，则这个三角形的最小角是 . 16.在△ABC中，若a2－c2＝b，且b＝3ccos A，则b＝____．

三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（10分）已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

1


18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.

(1)求角A的大小；(2)若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．

19.（12分）在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的长，S是ABC的面积.已知

Sa2(bc)2，求tanA的值.

21. （12分）在ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2c23ab. (1)求角C的大小；(2)如果0A

22.（12分）半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA2.B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边ABC，则B点在什么位置时四边形OACB的面积最大？求出这个最大面 积.





O 1

θ

2 B

x

A C

2A

，m2cos2sinB1，求实数m的取值范围. 32



20.（12分）在ABC中，已知aa2(bc)，a2b2c3. (1)若sinC:sinA4:13，求a,b,c；(2)求ABC的最大角的弧度数.







2

2




座位号

………线…………

高中数学必修五解三角形综合测试题答题卡 总分

一、选择题 得分

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19．(12分) 试…考封 …答案

























… …二、填空题 得分

… 密 …13、 14、 15、 16、

… …三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） … 线17. (10分) … … … … 名封 姓…… … … 密 … … … … 线 … … …

… 封18．(12分) 室…试…试… …考密 … … … … 线 … … … … 封 … …级… 班…密 就读………

…





20．(12分)

3


20. (12分)



4

22．(12分)




高中数学必修五解三角形综合测试题参考答案

一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上) . 10.如果满足ABC60，AC12，BCk的△ABC恰有一个，那么k的取值范围（D ） A．k83 B．0k12 C．k12 D．0k12或k83 1.在ABC中，A45,B60,a10,则b（ D ）

A.52 B.102 C.106

3

D.56

2.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2

C，则ABC的形状是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.在ABC中，若a5

2

b，A2B，则cosB（ B ） A.

53 B.54 C.55 D.5

6

4．在ABC中，如果(abc)(bca)3bc，那么角A等于（ B ） A．30 B．60 C．120 D．150

5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则新的三角形的形状为 （ A ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、由增加的长度决定 6.不解三角形，下列判断正确的是（B ）

A.a7,b14,A30,有两解 B.a30,b25,A150,有一解 C.a6,b9,A45,有两解 D.b9,c10,B60,无解

7．在ABC中，a6，B30，C120

，则ABC的面积是（C ） A．9 B．18 C．93 D．183

8.在ABC中，若sinBsinCcos2

A2

，则ABC是（ A ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 9.在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于（ A ）

A.663 B.2 C.12

D.32



11.在ABC中，A



3

，BC3，则ABC的周长为（D ）

A.43sin(B

3)3 B.43sin(B6)3

C.6sin(B)3 D.6sin(B

36

)3 12.如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为



( A )

A．(30＋303) m B．(30＋153) m C．(15＋303) m D．(15＋33) m 二、填空题

13.在ABC中，若sin(AB)sin(AB)sin2C，则此三角形形状是_直角三角形 14.在ABC中，已知A60，b1，Sabc

39ABC3，则

2sinAsinBsinC

3. 15.在ABC中，如果a:b:c2:6:(31)，则这个三角形的最小角是_A



4

.

16.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a2－c2＝b，且b＝3ccos A，则b＝． 【解析】 由余弦定理知b＝3ccos A＝3c×b2＋c2－a22bc

，

∴b2＝3(a2－c2)，又a2－c2＝b，∴b2＝3b，∴b＝3. 三、解答题

17.已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△． 解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(33)2＋22-2·33·2·(-3

2)＝49． ∴ b＝7，S△＝

12acsinB＝1132×33×2×2＝2

3

18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.

(1)求角A的大小；(2)若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．

5


b2＋c2－a2bc1π

【解】 (1)由已知得cos A＝＝＝，又∠A是△ABC的内角，∴A＝.

2bc2bc23

(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.

π

∴(b－c)＝0，即b＝c.又A＝，∴△ABC是等边三角形．

3

19.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的长，S是ABC的面积.已知

2

a2311

a(a3)(a1)0， 又bc(a3)0，ca442

∴bc,ac，故c为最大边，所以角C最大.

(a3)(a2a)

a

2222

Sa2(bc)2，求tanA的值.

解：∵Sa2(bc)2，S12bcsinA,∴a2(bc)21

2

bcsinA.

即b2

c2

a2

2bc(11

b2c2a24

)sinA,∴

2bc114sinA. 即cosA11sinA，则cos211

4A12sinA16

sin2A，

化简得

1716sin2A12sinA0，解得sinA8

17

(sinA0舍去). 代入cosA1115sinA8

4sinA17，故tanAcosA15

.

20.在ABC中，已知a2

a2(bc)，a2b2c3.

(1)若sinC:sinA4:13，求a,b,c；(2)求ABC的最大角的弧度数.

解：（1）由正弦定理，有sinC:sinAc:a4:13，∴可设c4k，a13k.

由已知条件得a2a2c2b，2ca32b，故a2a2c2ca3.

∴13k2

13k8k8k13k3，即13k2

16k30，∴k3

13

或k1.

∵当k3

13

时，b0，故舍去，∴k1，∴a13，b5132，c4.

2

（2）由已知二式消去2b，得c

a3

4

，代入a2a2b2c0中， 得b14(a22a3)1

4

(a3)(a1)， ∵a,b,c0，∴a3.



∵cosCabc42ab

2a1 4

(a3)(a1)4a2(a3)a(a1)4a(2a(a3)(a1)a22a3)2(a22a3)1

2

，

而0C，∴C

2

3

.

21. 在ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2c23ab. (1)求角C的大小； (2)如果0A

23，m2cos2A

2

sinB1，求实数m的取值范围. a2

b2

c2

3ab，得a2b2c2解：（1）由2ab3

2

.

由余弦定理知cosC3

2，∴C6

. （2）∵m2cos2

A2sinB121cosA2

sin[(AC)]1 cosAsin(AC)cosAsin(A

6)

cosAsinAcos



6

cosAsin



6

cosA

32sinA1

2

cosA 132cosA

2sinAcosAcos

3sinAsin3cos(A3

) ∵0A

23 ∴3A

3

. ∴1cos(A11

3)2，即m的取值范围是[1,2

).

6


22.半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA2.B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边ABC，则B点在什么位置时四边形OACB的面积最大？求出这个最大面 积.

22.解：设ABx，AOB，在ABC中运用余弦定理， C

得x与存在关系：

B

x21222212cos54cos. ①

1 x

又设四边形OACB的面积是S，则

θ O

2 A SSAOBSABCsin

34

x2

. ② 将①式代入②得Ssin3cos5353

42sin(3)4

. ∵(0,)，∴

3





3



23

. ∴当且仅当



5

3





2

，即

6

时，S853max4.

即以OA为始边，OB逆时针方向旋转

5

6

时，四边形OACB面积最大，最大值为8534.





7

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