高中数学归纳法大全数列不等式精华版

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§ 数学归纳法



1．数学归纳法的概念及基本步骤

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：

(1)验证：n＝n0 时，命题成立；

(2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立 的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系

数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关 的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.

2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．

3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．

4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．


5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立；

(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．



111111

证明：2＋22＋23＋…＋n－1＋2n＝1－2n(其中n∈N＋)．

2

111

[证明] (1)当n＝1时，左边＝2，右边＝1－2＝2，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即 1111112＋22＋23＋…＋2k－1＋2k＝1－2k， 那么当n＝k＋1时，

111111

左边＝2＋22＋23＋…＋k－1＋2k＋k＋1

222－1111

＝1－2k＋k＋1＝1－k＋1＝1－k＋1＝右边．

222这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．



11111

用数学归纳法证明：1－2＋3－4＋…＋－

2n－12n


111＝＋＋…＋2n. n＋1n＋2

111

[证明] ①当n＝1时，左边＝1－2＝2＝＝右边，

1＋1∴当n＝1时，等式成立． ②假设n＝k时等式成立，即

111111111－2＋3－4＋…＋－2k＝＋＋…＋2k.

2k－1k＋1k＋2则当n＝k＋1时，

1111111

左边＝1－＋－＋…＋－＋－

2342k－12k2k＋12k＋211111

＝(＋＋…＋2k)＋－ k＋1k＋22k＋12k＋211111＝(＋…＋2k＋)＋(－) k＋22k＋1k＋12k＋2＝

1111

＋…＋2k＋＋＝右边． k＋22k＋12k＋2

∴n＝k＋1时等式成立．

由①②知等式对任意n∈N＋都成立．

[点评] 在利用归纳假设论证n＝k＋1等式成立时，注意分析n＝k与n＝k＋1的两个等式的差别．n＝k＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由

1111

变到.因此在证明中，右式中的应与－合并，才k＋1k＋2k＋12k＋2

能得到所证式．因此，在论证之前，把n＝k＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．



证明不等式

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式

12n＋111

1＋1＋…1＋

352k－1＞2成立． 

145

[证明] ①当n＝2时，左＝1＋3＝3，右＝2，左＞右， ∴不等式成立．

②假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，


12k＋111

即1＋31＋5…1＋2k－1＞2， 那么当n＝k＋1时，

1111＋1＋1＋…[1＋352k－12

1

k＋1

2k＋12k＋2]＞2· －12k＋1

2k＋24k2＋8k＋44k2＋8k＋3

＝＝＞ 22k＋122k＋122k＋1＝

2k＋3·2k＋12

＝

2·2k＋1

k＋12

＋1

，

∴n＝k＋1时，不等式也成立．

∴对一切大于1的自然数n，不等式成立．

[点评] (1)本题证明n＝k＋1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了k＋1

恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式＞

2k＋12k＋1

2

＋1

成立．

(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤： • 第①步p(n0)成立是推理的基础;

• 第②步由p(k)⇒p(k＋1)是推理的依据(即n0成立，则n0＋1成立，n0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)．

• 另一方面，第①步中，验证n＝n0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 .



(2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：

1111

1＋22＋32＋…＋n2<2－n (n≥2)．

[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．

1513

[证明] 1°当n＝2时，1＋22＝4<2－2＝2，命题成立． 11112°假设n＝k时命题成立，即1＋22＋32＋…＋k2<2－k


111

当n＝k＋1时，1＋22＋32＋…＋k2＋12－k＋＝2－

1k＋1

2<2－

1k＋1

2<

11＋

kkk＋1111＝2－k＋k－

k＋1

1

命题成立． k＋1

由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．



证明整除问题

用数学归纳法证明下列问题：

(1)求证：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数； (2)证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除．

[分析] (2)先考察：f(k＋1)－f(k)＝18k·7k＋27·7k，因此，当n＝k＋1时，(3k＋4)7k＋1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.

[证明] (1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数． 假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)， 则3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3 ＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8

＝(3×52k1＋23k1)×8＋17×3×52k1

＋

＋

＋

＝8×17m＋3×17×52k＋1 ＝17(8m＋3×52k＋1)，

∵m、k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除， 即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．

(2)令f(n)＝(3n＋1)·7n－1

①f(1)＝4×7－1＝27能被9整除． ②假设f(k)能被9整除(k∈N*)，

∵f(k＋1)－f(k)＝(3k＋4)·7k＋1－(3k＋1)·7k＝7k·(18k＋27)＝9×7k(2k＋3)能被9整除，

∴f(k＋1)能被9整除．

由①②可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除．

[点评] 用数学归纳法证明整除问题，当n＝k＋1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证．


(2014·南京一模)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n

∈N＋时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N＋)能被3整除．

[证明] (1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.

即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．

(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2 ＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.

显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除． ∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．

即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．

由(1)和(2)知，对于n∈N＋，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除．



几何问题

平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆

都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．

[分析] 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块．本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决．

[解析] ①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题

成立．

②假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，k个圆把平面分成k2－k＋2个部

分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成( k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立．

[点评] 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．


平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平nn－1

行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)＝2.

[分析] 找到从n＝k到n＝k＋1增加的交点的个数是解决本题的关键．

[证明] (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个． 1

又f(2)＝2×2×(2－1)＝1， ∴当n＝2时，命题成立．

(2)假设n＝k(k≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个1

数f(k)＝2k(k－1)，

那么，当n＝k＋1时，

1

任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝2k(k－1)， l与其他k条直线交点个数为k. 从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，

1111

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝2k(k－1)＋k＝2k(k－1＋2)＝2k(k＋1)＝2(k＋1)[(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．

[点评] 关于几何题的证明，应分清k到k＋1的变化情况，建立k的递推关系．

探索延拓创新 归纳—猜想—证明

(2014·湖南常德4月，19)设a>0，f(x)＝ ax

，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋. a＋x

(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．

aa

[解析] (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝

1＋a2＋a


a. 3＋a

猜想 an＝

an－1

＋a

(n∈N＋)．

(2)证明：(ⅰ)易知，n＝1时，猜想正确． (ⅱ)假设n＝k时猜想正确，

a

即ak＝，

k－1＋a

a

k－1＋aa·ak

＝f(ak)＝＝＝

aa＋ak

a＋

k－1＋a

a·

ak－1

＋a＋1

则

a

[k＋1

ak

＋

1

＝

.

－1]＋a

an－1

这说明，n＝k＋1时猜想正确． 由(ⅰ)(ⅱ)知，对于任何n∈N＋，都有an＝

＋a

11

已知数列{xn}满足x1＝2，xn＋1＝，n∈N＋.

1＋xn

(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； 12n－1

(2)证明：|xn＋1－xn|≤6 5.



112513

[解析] (1) 解: 由x1＝2及xn＋1＝，得x2＝3，x4＝8，x6＝21.

1＋xn由x2>x4>x6，猜想数列{x2n}是单调递减数列． 下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，已证明x2>x4，命题成立． ②假设当n＝k时，命题成立，即x2k>x2k＋2. 易知xn>0，那么，当n＝k＋1时， 11

x2k＋2－x2k＋4＝－＝

1＋x2k＋11＋x2k＋3＝

1＋x2k

x2k－x2k＋2

1＋x2k＋11＋x2k＋2

x2k＋3－x2k＋1



1＋x2k＋11＋x2k＋3

1＋x2k＋3

>0，

即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立． 综合①和②知，命题成立．

1

(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝6，结论成立．


当n≥2时，易知0<xn－1<1. 11

∴1＋xn－1<2，xn＝>2.

1＋xn－1

151＋∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋x)＝2＋x≥－－n1n1

1＋xn－12. 11

∴|xn＋1－xn|＝1＋x－1＋x＝

nn－122

≤5|xn－xn－1|≤52|xn－1－xn－2|≤…≤

122n－1

5|x2－x1|＝5n－1.

6

|xn－xn－1|



1＋xn1＋xn－1

易错辨误警示

判断2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1对大于0的自然数n是否都

成立？若成立请给出证明

．

[误解] 假设n＝k时，结论成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那2＋4

＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1. 即当n＝k＋1时，等式也成立．

因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1都成立．

[误解] 假设n＝k时，结论成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1. 即当n＝k＋1时，等式也成立．

因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1都成立． • [正解] 不成立．当n＝1时，左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边，所以不成立． [点评] 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的．特别是步骤(1)，往往十分简单，但却是不可忽视的步骤．本题中，虽然已经证明了：如果n＝k时等式成立，那么n＝k＋1时等式也成立．但是如果仅根据这一步就得出等式对任何n∈N＋都成立的结论，那就错了．事实上，当n＝1时，上式左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边．而且等式对任何n都不成立．这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了．


1111

用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝

2×44×66×82n2n＋2

n

(n∈N＋)．

4n＋1

[误解] (1) 略．

(2) 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得

1111＋＋＋…＋2×44×66×82k2k＋2

＋

1

2k＋2

2k＋4



111111111

＝22－4＋4－6＋…＋2k－2k＋2＋2k＋2－2k＋4

111

＝22－2k＋4＝

4[

k＋1

，即n＝k＋1时命题成立．

k＋1＋1]

111

＝8，右边＝8，等式成立． 2×4

[正解] (1)当n＝1时，左边＝

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，

1111k＋＋＋…＋＝成立． 2×44×66×82k2k＋24k＋1那么当n＝k＋1时，

11111

＋＋＋…＋＋ 2×44×66×82k2k＋22k＋22k＋4＝＝

k1

＋

4k＋14k＋1k＋2kk＋2＋1



4k＋1k＋2

k＋12

＝ 4k＋1k＋2 ＝

k＋1k＋1

＝.

4k＋24[k＋1＋1]

所以当n＝k＋1时，等式成立． 由(1)(2)可得对一切n∈N＋等式都成立．

[点评] 这里没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证．








111n＋1

用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n>2(n∈N＋)．



1＋113

[误解] (1)当n＝1时，左边＝1＋2＝2，右边＝2＝1.显然左边>右边，即n＝1时命题成立．



111k＋1

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即1＋2＋3＋…＋2k>2.

[正解] (1)略．

111k＋1

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋＋…＋k>，

2322则当n＝k＋1时，

111111k＋111

1＋2＋3＋…＋2k＋k＋k＋…＋k＋1>2＋k＋k＋…

2＋12＋222＋12＋2 ＋

k＋12kk＋11k＋1＋1

＝2＋k＋1＝2＋2＝，

22

即n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可得对一切n∈N＋不等式都成立． [点评] 从n＝k到n＝k＋1时，增加的不止一项，应为k＋111k＋11k

＋k，共有2项，并且＋>＋2也是错误的．

22＋2k2k＋12



11

＋＋…2k＋12k＋2

k＋1111>＋＋＋…＋ 2k＋122k＋12k＋12k＋11

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